$\Delta ABC$ में,$m\angle B = 90^{\circ}$ और $\overline{BM}$ कर्ण $\overline{AC}$ पर एक शीर्षलंब है। सिद्ध कीजिए कि $\frac{1}{BM^2} = \frac{1}{AB^2} + \frac{1}{BC^2}$।

(N/A) $\Delta ABC$ में,$m\angle B = 90^{\circ}$ और $\overline{BM} \perp \overline{AC}$ है।
समकोण त्रिभुज के क्षेत्रफल के सूत्र के अनुसार,$\Delta ABC$ का क्षेत्रफल दो प्रकार से लिखा जा सकता है:
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times AB \times BC$ (भुजाओं को आधार और ऊँचाई मानते हुए)
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times AC \times BM$ (कर्ण को आधार और शीर्षलंब को ऊँचाई मानते हुए)
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: $\frac{1}{2} \times AB \times BC = \frac{1}{2} \times AC \times BM \implies AB \times BC = AC \times BM$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $AB^2 \times BC^2 = AC^2 \times BM^2$।
चूँकि $\Delta ABC$ एक समकोण त्रिभुज है,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार: $AC^2 = AB^2 + BC^2$।
$AC^2$ का मान रखने पर: $AB^2 \times BC^2 = (AB^2 + BC^2) \times BM^2$।
$BM^2$ को अलग करने पर: $BM^2 = \frac{AB^2 \times BC^2}{AB^2 + BC^2}$।
दोनों पक्षों का व्युत्क्रम (reciprocal) लेने पर: $\frac{1}{BM^2} = \frac{AB^2 + BC^2}{AB^2 \times BC^2}$।
भिन्न को अलग करने पर: $\frac{1}{BM^2} = \frac{AB^2}{AB^2 \times BC^2} + \frac{BC^2}{AB^2 \times BC^2}$।
सरल करने पर: $\frac{1}{BM^2} = \frac{1}{BC^2} + \frac{1}{AB^2}$।