$\Delta ABC$ માં,$\overline{AD}$,$\overline{BE}$ અને $\overline{CF}$ મધ્યગાઓ છે. સાબિત કરો કે $3(AB^2 + BC^2 + AC^2) = 4(AD^2 + BE^2 + CF^2)$.

(N/A) $\Delta ABC$ માં,$\overline{AD}$,$\overline{BE}$ અને $\overline{CF}$ મધ્યગાઓ છે. તેથી,$D$,$E$ અને $F$ એ અનુક્રમે $\overline{BC}$,$\overline{AC}$ અને $\overline{AB}$ ના મધ્યબિંદુઓ છે.
$\Delta ABC$ માં મધ્યગા $\overline{AD}$ માટે એપોલોનિયસના પ્રમેય મુજબ:
$AB^2 + AC^2 = 2(AD^2 + BD^2)$
$BD = \frac{1}{2}BC$ હોવાથી:
$AB^2 + AC^2 = 2AD^2 + 2(\frac{BC}{2})^2 = 2AD^2 + \frac{BC^2}{2}$
$2AD^2 = AB^2 + AC^2 - \frac{BC^2}{2} \quad \dots(1)$
તે જ રીતે,મધ્યગાઓ $\overline{BE}$ અને $\overline{CF}$ માટે:
$2BE^2 = AB^2 + BC^2 - \frac{AC^2}{2} \quad \dots(2)$
$2CF^2 = AC^2 + BC^2 - \frac{AB^2}{2} \quad \dots(3)$
સમીકરણો $(1)$,$(2)$ અને $(3)$ નો સરવાળો કરતા:
$2(AD^2 + BE^2 + CF^2) = (AB^2 + AB^2 - \frac{AB^2}{2}) + (BC^2 + BC^2 - \frac{BC^2}{2}) + (AC^2 + AC^2 - \frac{AC^2}{2})$
$2(AD^2 + BE^2 + CF^2) = \frac{3}{2}AB^2 + \frac{3}{2}BC^2 + \frac{3}{2}AC^2$
$2(AD^2 + BE^2 + CF^2) = \frac{3}{2}(AB^2 + BC^2 + AC^2)$
બંને બાજુ $2$ વડે ગુણતા:
$4(AD^2 + BE^2 + CF^2) = 3(AB^2 + BC^2 + AC^2)$