$\Delta ABC$ में,$m \angle B = 90^{\circ}$ और $\overline{BE}$ कर्ण $\overline{AC}$ पर एक शीर्षलंब (altitude) है। सिद्ध कीजिए कि $\frac{AB^2}{BC^2} = \frac{AE}{CE}$.

(A) $\Delta ABC$ में,$\angle B = 90^{\circ}$ और $BE \perp AC$ है।
समकोण त्रिभुज में कर्ण पर शीर्षलंब खींचे जाने पर,शीर्षलंब के दोनों ओर के त्रिभुज मूल त्रिभुज के समरूप होते हैं और आपस में भी समरूप होते हैं।
$1$. $\Delta ABE \sim \Delta ABC$ ($AA$ समरूपता द्वारा)।
अतः,$\frac{AB}{AC} = \frac{AE}{AB}$,जिसका अर्थ है $AB^2 = AE \cdot AC$ --- $(1)$।
$2$. $\Delta CBE \sim \Delta ABC$ ($AA$ समरूपता द्वारा)।
अतः,$\frac{BC}{AC} = \frac{CE}{BC}$,जिसका अर्थ है $BC^2 = CE \cdot AC$ --- $(2)$।
समीकरण $(1)$ को समीकरण $(2)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{AB^2}{BC^2} = \frac{AE \cdot AC}{CE \cdot AC}$।
अंश और हर से $AC$ को काटने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{AB^2}{BC^2} = \frac{AE}{CE}$।
इति सिद्धम्।