$\Delta ABC$ માં,$m\angle B = 90^{\circ}$ અને બિંદુઓ $D$ અને $E$ એ $\overline{BC}$ નું ત્રિ-વિભાજન કરે છે. સાબિત કરો કે $8AE^{2} - 3AC^{2} = 5AB^{2}$.

(N/A) ધારો કે $BC$ નું બિંદુઓ $D$ અને $E$ દ્વારા ત્રણ સમાન ભાગમાં વિભાજન થાય છે. ધારો કે $BD = DE = EC = x$. તેથી $BE = 2x$ અને $BC = 3x$ થાય.
કાટકોણ $\Delta ABE$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ: $AE^{2} = AB^{2} + BE^{2} = AB^{2} + (2x)^{2} = AB^{2} + 4x^{2}$.
બંને બાજુ $8$ વડે ગુણતા: $8AE^{2} = 8AB^{2} + 32x^{2}$.
કાટકોણ $\Delta ABC$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ: $AC^{2} = AB^{2} + BC^{2} = AB^{2} + (3x)^{2} = AB^{2} + 9x^{2}$.
બંને બાજુ $3$ વડે ગુણતા: $3AC^{2} = 3AB^{2} + 27x^{2}$.
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $8AE^{2} - 3AC^{2} = (8AB^{2} + 32x^{2}) - (3AB^{2} + 27x^{2}) = 5AB^{2} + 5x^{2}$.
અહીં $DE = x$ હોવાથી,$DE^{2} = x^{2}$ થાય. આમ,$8AE^{2} - 3AC^{2} = 5AB^{2} + 5DE^{2}$.