$\triangle ABC$ में,यदि $A$ बिंदु $(1,2)$ है,और $B$ तथा $C$ रेखा $y=x+\alpha$ पर स्थित हैं (जहाँ $\alpha$ एक चर है),तो त्रिभुज के लंबकेंद्र का बिंदुपथ क्या है?

एक चर सीधी रेखा $L$ जिसका ढाल ऋणात्मक है, बिंदु $(4,9)$ से गुजरती है और धनात्मक अक्षों को $A$ और $B$ पर काटती है। यदि $O$ मूलबिंदु है, तो $OA+OB$ का न्यूनतम मान क्या है?

वक्र $x^{2/3} + y^{2/3} = a^{2/3}, a > 0$ के किसी भी बिंदु पर स्पर्शरेखा का अक्षों के बीच का अंतःखंडित भाग:

बिंदु $P(x, y)$ का बिंदुपथ ज्ञात कीजिए ताकि $\triangle PAB$ का क्षेत्रफल $7$ हो,जहाँ $A(4, 5)$ और $B(-2, 3)$ दिए गए बिंदु हैं।

मान लीजिए $P(2, -3)$ और $Q(-2, 1)$ त्रिभुज $\Delta PQR$ के शीर्ष हैं। यदि $\Delta PQR$ का केंद्रक रेखा $2x + 3y = 1$ पर स्थित है, तो $R$ का बिंदुपथ ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $A$ उन सभी बिंदुओं $(\alpha, \beta)$ का समुच्चय है जिनके लिए बिंदुओं $(5, 6), (3, 2)$ और $(\alpha, \beta)$ द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल $12 \text{ वर्ग इकाई}$ है। तो मूल बिंदु को $A$ के किसी बिंदु से जोड़ने वाले रेखाखंड की न्यूनतम लंबाई क्या है?