एक triangle ABC में,मान लीजिए G इसका केंद्रक | vedclass

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Question

(C) मान लीजिए $AM = x AB$ और $AN = y AC$ है। चूँकि $G$ केंद्रक है,$G$ का स्थिति सदिश $\frac{A+B+C}{3}$ है।चूँकि $M, G, N$ संरेख हैं,एक अदिश $k$ मौजूद

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$4/9 \leq r < 1/2$

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(C) मान लीजिए $AM = x AB$ और $AN = y AC$ है। चूँकि $G$ केंद्रक है,$G$ का स्थिति सदिश $\frac{A+B+C}{3}$ है।चूँकि $M, G, N$ संरेख हैं,एक अदिश $k$ मौजूद है जिससे $\vec{G} = (1-k)\vec{M} + k\vec{N}$।केंद्रक के गुण और दी गई शर्तों का उपयोग करके,यह दिखाया जा सकता है कि $\frac{1}{3x} + \frac{1}{3y} = 1$,या $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 3$ है।क्षेत्रफलों का अनुपात $r = \frac{	ext{Area}(	riangle AMN)}{	ext{Area}(	riangle ABC)} = xy$ है।$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 3$ से,हमें $y = \frac{x}{3x-1}$ मिलता है।अतः $r = \frac{x^2}{3x-1}$ है।चूँकि $M$ और $N$ रेखाखंडों के आंतरिक भाग में हैं,$0 $y  1/2$ है।साथ ही,$r$ का न्यूनतम मान $x=y=2/3$ पर होता है,जिससे $r = (2/3)(2/3) = 4/9$ प्राप्त होता है।जैसे-जैसे $x 	o 1/2$,$y 	o 1$ होता है,इसलिए $r 	o 1/2$ होता है।अतः,$4/9 \leq r < 1/2$ है।

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