एक चतुर्भुज $ABCD$ में,$\angle A + \angle D = 90^{\circ}$ है। सिद्ध कीजिए कि $AC^{2} + BD^{2} = AD^{2} + BC^{2}$।

(N/A) दिया है: एक चतुर्भुज $ABCD$ जिसमें $\angle A + \angle D = 90^{\circ}$ है।
सिद्ध करना है: $AC^{2} + BD^{2} = AD^{2} + BC^{2}$।
रचना: $AB$ और $DC$ को आगे बढ़ाएं ताकि वे बिंदु $E$ पर मिलें।
उपपत्ति: $\triangle AED$ में,$\angle A + \angle D = 90^{\circ}$ (दिया है)।
चूंकि त्रिभुज के तीनों कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है,इसलिए $\angle E = 180^{\circ} - (\angle A + \angle D) = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ}$।
समकोण $\triangle AED$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार: $AD^{2} = AE^{2} + DE^{2}$ ... $(i)$
समकोण $\triangle BEC$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार: $BC^{2} = BE^{2} + CE^{2}$ ... $(ii)$
$(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर: $AD^{2} + BC^{2} = AE^{2} + DE^{2} + BE^{2} + CE^{2}$ ... $(iii)$
समकोण $\triangle AEC$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार: $AC^{2} = AE^{2} + CE^{2}$ ... $(iv)$
समकोण $\triangle BED$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार: $BD^{2} = BE^{2} + DE^{2}$ ... $(v)$
$(iv)$ और $(v)$ को जोड़ने पर: $AC^{2} + BD^{2} = AE^{2} + CE^{2} + BE^{2} + DE^{2}$ ... $(vi)$
$(iii)$ और $(vi)$ की तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है: $AC^{2} + BD^{2} = AD^{2} + BC^{2}$।
इति सिद्धम्।