ચતુષ્કોણ $ABCD$ માં, બિંદુ $P$ એ $DC$ નું $1:2$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે અને $Q$ એ $AC$ નું મધ્યબિંદુ છે. જો $\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}-2\overrightarrow{DC}=k\overrightarrow{PQ}$ હોય, તો $k$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $\vec{a} = 2\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$ અને $\vec{b} = \hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$ બે સદિશો છે. એક સદિશ $\vec{c} = \alpha\vec{a} + \beta\vec{b}$ ધ્યાનમાં લો,જ્યાં $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$. જો સદિશ $(\vec{a} + \vec{b})$ પર $\vec{c}$ નો પ્રક્ષેપ $3\sqrt{2}$ હોય,તો $(\vec{c} - (\vec{a} \times \vec{b})) \cdot \vec{c}$ ની ન્યૂનતમ કિંમત કેટલી થાય?

જો બિંદુઓ $D, E, F$ એ $\triangle ABC$ ની બાજુઓ $BC, CA, AB$ નું અનુક્રમે $1:4, 3:2, 3:7$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે અને બિંદુ $K$ એ $AB$ નું કોઈ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે,તો $(\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BE} + \overrightarrow{CF}) : \overrightarrow{CK} = ......$

ત્રિકોણ $ABC$ માં બિંદુઓ $D, E, F$ એ $BC, CA$ અને $AB$ નું $1:4, 3:2$ અને $3:7$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે અને બિંદુ $K$ એ $AB$ નું $1:3$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે,તો $(\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BE} + \overrightarrow{CF}) : \overrightarrow{CK}$ બરાબર શું થાય?

ધારો કે ત્રિકોણના ત્રણ શિરોબિંદુઓના સ્થાન સદિશો $4 \overrightarrow{p} + \overrightarrow{q} - 3 \overrightarrow{r}$,$-5 \overrightarrow{p} + \overrightarrow{q} + 2 \overrightarrow{r}$ અને $2 \overrightarrow{p} - \overrightarrow{q} + 2 \overrightarrow{r}$ છે. જો ત્રિકોણના લંબકેન્દ્ર $(O)$ અને પરિકેન્દ્ર $(C)$ ના સ્થાન સદિશો અનુક્રમે $\frac{\overrightarrow{p} + \overrightarrow{q} + \overrightarrow{r}}{4}$ અને $\alpha \overrightarrow{p} + \beta \overrightarrow{q} + \gamma \overrightarrow{r}$ હોય,તો $\alpha + 2 \beta + 5 \gamma$ ની કિંમત શોધો.

$(x_1 - x_2)^2 + (\sqrt{2 - x_1^2} - \frac{9}{x_2})^2$ ની ન્યૂનતમ કિંમત શોધો,જ્યાં $x_1 \in (0, \sqrt{2})$ અને $x_2 \in R^+$.