एक परीक्षा में,तीन विषयों में से प्रत्येक के | vedclass

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Question

(D) मान लीजिए कि पहले तीन विषयों में अंक $x_1, x_2, x_3$ $(0 \leq x_i \leq n)$ हैं और चौथे विषय में अंक $x_4$ $(0 \leq x_4 \leq 2n)$ हैं।हमें $x_1 + x

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{1}{6}(n+1)(5n^2+10n+6)$

Vedclass · Answer

(D) मान लीजिए कि पहले तीन विषयों में अंक $x_1, x_2, x_3$ $(0 \leq x_i \leq n)$ हैं और चौथे विषय में अंक $x_4$ $(0 \leq x_4 \leq 2n)$ हैं।हमें $x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 3n$ के पूर्णांक हलों की संख्या ज्ञात करनी है।यह $(1+x+\dots+x^n)^3(1+x+\dots+x^{2n})$ के विस्तार में $x^{3n}$ का गुणांक है।यह व्यंजक $\left(\frac{1-x^{n+1}}{1-x}\right)^3 \left(\frac{1-x^{2n+1}}{1-x}\right) = (1-x^{n+1})^3(1-x^{2n+1})(1-x)^{-4}$ के बराबर है।इसका विस्तार करने पर,हमें $(1 - 3x^{n+1} + 3x^{2n+2} - x^{3n+3})(1 - x^{2n+1})(1-x)^{-4}$ प्राप्त होता है।$= (1 - 3x^{n+1} + 3x^{2n+2} - x^{3n+3} - x^{2n+1} + 3x^{3n+2} - 3x^{4n+3} + x^{5n+4})(1-x)^{-4}$।इस गुणनफल में $x^{3n}$ का गुणांक ज्ञात करने पर,हमें $\frac{1}{6}(n+1)(5n^2+10n+6)$ प्राप्त होता है।

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