किसी भी त्रिभुज $ABC$ में,यदि $\angle A$ का कोण समद्विभाजक और $BC$ का लंब समद्विभाजक प्रतिच्छेद करते हैं,तो सिद्ध कीजिए कि वे त्रिभुज $ABC$ के परिवृत्त पर प्रतिच्छेद करते हैं।

(N/A) मान लीजिए $\Delta ABC$ एक वृत्त में स्थित है जिसका केंद्र $O$ है।
मान लीजिए $\angle A$ का आंतरिक समद्विभाजक परिवृत्त को बिंदु $E$ पर प्रतिच्छेद करता है। हमें यह दिखाना है कि $E$,$BC$ के लंब समद्विभाजक पर स्थित है।
चूंकि $AE$,$\angle BAC$ का समद्विभाजक है,इसलिए $\angle BAE = \angle CAE$ है।
समान कोण परिधि पर समान चाप अंतरित करते हैं,इसलिए $\text{चाप } BE = \text{चाप } EC$ है।
परिणामस्वरूप,इन चापों के संगत जीवाएं बराबर होती हैं,अर्थात जीवा $BE = \text{जीवा } CE$ है।
मान लीजिए $D$,$BC$ का मध्य-बिंदु है। $\Delta BDE$ और $\Delta CDE$ में:
$BE = CE$ (ऊपर सिद्ध किया गया)
$BD = CD$ ($D$,$BC$ का मध्य-बिंदु है)
$DE = DE$ (उभयनिष्ठ भुजा)
$SSS$ सर्वांगसमता कसौटी के अनुसार,$\Delta BDE \cong \Delta CDE$ है।
इसलिए,$\angle BDE = \angle CDE$ (सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग)।
चूंकि $BC$ एक सीधी रेखा है,$\angle BDE + \angle CDE = 180^{\circ}$ है।
अतः,$\angle BDE = \angle CDE = 90^{\circ}$,जिसका अर्थ है कि $DE \perp BC$ है।
चूंकि $DE$,$BC$ के मध्य-बिंदु $D$ से होकर गुजरता है और $BC$ पर लंब है,इसलिए $DE$,$BC$ का लंब समद्विभाजक है। इस प्रकार,$\angle A$ का कोण समद्विभाजक और $BC$ का लंब समद्विभाजक परिवृत्त पर बिंदु $E$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।