બળજબરીપૂર્વકના કંપન (forced vibration) ના કિસ્સામાં,અનુનાદ તરંગ (resonance wave) ખૂબ જ તીક્ષ્ણ ક્યારે બને છે?

$m \frac{d^2x}{dt^2} + b \frac{dx}{dt} + kx = 0$ સમીકરણ દ્વારા દર્શાવતા ડેમ્પ્ડ હાર્મોનિક ઓસિલેટર માટે, તે સમય $t$ શોધો જેના પછી યાંત્રિક ઉર્જા તેના પ્રારંભિક મહત્તમ મૂલ્ય કરતા અડધી થઈ જાય.

જો એક અવમંદિત હાર્મોનિક ઓસિલેટરના $t=0, t_1$ અને $t_2$ સમયે કંપવિસ્તાર અનુક્રમે $A_0, A_1$ અને $A_2$ હોય, તો $(t_1+t_2)$ સમયે ઓસિલેટરનો કંપવિસ્તાર કેટલો હશે?

એક ડેમ્પ્ડ ઓસિલેટરના કંપનનો કંપવિસ્તાર તેના પ્રારંભિક મૂલ્યના $25 \%$ સુધી ઘટવા માટે લાગતો સમય $t$ છે. તેની યાંત્રિક ઉર્જા તેના પ્રારંભિક યાંત્રિક ઉર્જાના $50 \%$ સુધી ઘટવા માટે લાગતો સમય કેટલો હશે?

$100 \,g$ દળનો એક બ્લોક $450 \,N m^{-1}$ સ્પ્રિંગ અચળાંક ધરાવતી સ્થિતિસ્થાપક સ્પ્રિંગ સાથે જોડાયેલ છે અને તે શિરોલંબ દિશામાં દોલનો કરે છે. આ બ્લોક-સ્પ્રિંગ તંત્ર $69.3 \,g \,s^{-1}$ ના ડેમ્પિંગ અચળાંક ધરાવતા સ્નિગ્ધ માધ્યમમાં છે. દોલનોનો કંપવિસ્તાર તેના પ્રારંભિક મૂલ્યના અડધા થવા માટે લાગતો સમય શોધો. (લો, $\ln 2 = 0.693$) ($\,s$ માં)

જો એક હળવા ડેમ્પ્ડ ઓસિલેટરનો કંપનવિસ્તાર $1.5 \%$ જેટલો ઘટે,તો દરેક ચક્રમાં ગુમાવેલી ઓસિલેટરની યાંત્રિક ઉર્જા કેટલી હશે ($\%$ માં)?