નીચેના દરેક કિસ્સામાં,વિધેય એક-એક (one-one),વ્યાપ્ત (onto) અથવા બાયજેક્ટિવ (bijective) છે કે નહીં તે જણાવો. તમારા જવાબનું સમર્થન કરો. $f : R \rightarrow R$ જે $f(x) = 3 - 4x$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે.

(D) આપેલ છે કે $f : R \rightarrow R$ એ $f(x) = 3 - 4x$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે.
$1.$ એક-એક (one-one) માટે તપાસ:
ધારો કે $x_1, x_2 \in R$ એવા છે કે જેથી $f(x_1) = f(x_2)$.
તેથી,$3 - 4x_1 = 3 - 4x_2$.
બંને બાજુથી $3$ બાદ કરતા,આપણને $-4x_1 = -4x_2$ મળે છે.
$-4$ વડે ભાગતા,આપણને $x_1 = x_2$ મળે છે.
જેથી $f(x_1) = f(x_2) \implies x_1 = x_2$,તેથી વિધેય $f$ એક-એક છે.
$2.$ વ્યાપ્ત (onto) માટે તપાસ:
ધારો કે $y \in R$ એ સહપ્રદેશનો કોઈ પણ ઘટક છે.
આપણે એવો $x \in R$ શોધવા માંગીએ છીએ કે જેથી $f(x) = y$.
$3 - 4x = y \implies 4x = 3 - y \implies x = \frac{3 - y}{4}$.
કારણ કે $y \in R$,તેથી $\frac{3 - y}{4}$ પણ એક વાસ્તવિક સંખ્યા $(R)$ છે.
આમ,દરેક $y \in R$ માટે,$x = \frac{3 - y}{4} \in R$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $f(x) = 3 - 4(\frac{3 - y}{4}) = 3 - (3 - y) = y$.
વિધેયનો વિસ્તાર એ સહપ્રદેશ $R$ જેટલો હોવાથી,વિધેય $f$ વ્યાપ્ત છે.
નિષ્કર્ષ:
વિધેય એક-એક અને વ્યાપ્ત બંને હોવાથી,તે બાયજેક્ટિવ (bijective) છે.