આકૃતિમાં,$ABC$ અને $DBC$ એ એક જ પાયા $BC$ પર આવેલા બે ત્રિકોણ છે. જો $AD$ એ $BC$ ને $O$ માં છેદે,તો સાબિત કરો કે $\frac{\operatorname{ar}(ABC)}{\operatorname{ar}(DBC)} = \frac{AO}{DO}$.

(N/A) ધારો કે આપણે રેખા $BC$ પર બે લંબ $AP$ અને $DM$ દોરીએ છીએ.
આપણે જાણીએ છીએ કે ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ}$.
તેથી,$\frac{\operatorname{ar}(\Delta ABC)}{\operatorname{ar}(\Delta DBC)} = \frac{\frac{1}{2} \times BC \times AP}{\frac{1}{2} \times BC \times DM} = \frac{AP}{DM}$.
$\triangle APO$ અને $\triangle DMO$ માં:
$\angle APO = \angle DMO = 90^{\circ}$ (રચના મુજબ).
$\angle AOP = \angle DOM$ (અભિકોણો).
તેથી,$\triangle APO \sim \triangle DMO$ ($AA$ સમરૂપતાની શરત મુજબ).
સમરૂપ ત્રિકોણો હોવાથી,તેમની અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર સમાન હોય છે:
$\frac{AP}{DM} = \frac{AO}{DO}$.
આ કિંમતને આપણા ક્ષેત્રફળના ગુણોત્તરના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{\operatorname{ar}(\Delta ABC)}{\operatorname{ar}(\Delta DBC)} = \frac{AO}{DO}$.