$\Delta ABC \sim \Delta PQR$ સંગતતા $ABC \leftrightarrow PQR$ માટે છે. $\overline{AD}$ અને $\overline{PM}$ આ ત્રિકોણોના મધ્યગાઓ છે. સાબિત કરો કે $AB \times PM = PQ \times AD$.

(A) આપેલ છે: $\Delta ABC \sim \Delta PQR$.
ત્રિકોણો સમરૂપ હોવાથી,તેમની અનુરૂપ બાજુઓ પ્રમાણમાં હોય છે અને તેમના અનુરૂપ ખૂણાઓ સમાન હોય છે.
તેથી,$\frac{AB}{PQ} = \frac{BC}{QR} = \frac{AC}{PR}$ અને $\angle B = \angle Q$.
$\overline{AD}$ અને $\overline{PM}$ મધ્યગાઓ હોવાથી,$D$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે અને $M$ એ $QR$ નું મધ્યબિંદુ છે.
તેથી,$BC = 2BD$ અને $QR = 2QM$.
આ કિંમતો ગુણોત્તરમાં મૂકતા: $\frac{AB}{PQ} = \frac{2BD}{2QM} = \frac{BD}{QM}$.
હવે,$\Delta ABD$ અને $\Delta PQM$ માં:
$1$. $\frac{AB}{PQ} = \frac{BD}{QM}$ (ઉપર સાબિત કર્યું)
$2$. $\angle B = \angle Q$ (સમરૂપ ત્રિકોણના અનુરૂપ ખૂણાઓ)
$SAS$ સમરૂપતાની શરત મુજબ,$\Delta ABD \sim \Delta PQM$.
ત્રિકોણો સમરૂપ હોવાથી,તેમની અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર સમાન હોય છે: $\frac{AB}{PQ} = \frac{AD}{PM}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા,આપણને $AB \times PM = PQ \times AD$ મળે છે.
આમ,સાબિત થાય છે.