$\Delta ABC \sim \Delta PQR$ संगति $ABC \leftrightarrow PQR$ के लिए है। $\overline{AD}$ और $\overline{PM}$ इन त्रिभुजों की माध्यिकाएँ हैं। सिद्ध कीजिए कि $AB \times PM = PQ \times AD$.

(A) दिया है: $\Delta ABC \sim \Delta PQR$.
चूँकि त्रिभुज समरूप हैं,उनकी संगत भुजाएँ समानुपाती होती हैं और उनके संगत कोण बराबर होते हैं।
इसलिए,$\frac{AB}{PQ} = \frac{BC}{QR} = \frac{AC}{PR}$ और $\angle B = \angle Q$.
चूँकि $\overline{AD}$ और $\overline{PM}$ माध्यिकाएँ हैं,$D$,$BC$ का मध्य-बिंदु है और $M$,$QR$ का मध्य-बिंदु है।
अतः,$BC = 2BD$ और $QR = 2QM$.
इन मानों को अनुपात में रखने पर: $\frac{AB}{PQ} = \frac{2BD}{2QM} = \frac{BD}{QM}$.
अब,$\Delta ABD$ और $\Delta PQM$ में:
$1$. $\frac{AB}{PQ} = \frac{BD}{QM}$ (ऊपर सिद्ध किया गया)
$2$. $\angle B = \angle Q$ (समरूप त्रिभुजों के संगत कोण)
$SAS$ समरूपता कसौटी के अनुसार,$\Delta ABD \sim \Delta PQM$.
चूँकि त्रिभुज समरूप हैं,उनकी संगत भुजाओं का अनुपात बराबर होता है: $\frac{AB}{PQ} = \frac{AD}{PM}$.
वज्र-गुणन करने पर,हमें $AB \times PM = PQ \times AD$ प्राप्त होता है।
इति सिद्धम्।