आकृति में,दो जीवाएँ $AB$ और $CD$ एक-दूसरे को बिंदु $P$ पर प्रतिच्छेद करती हैं। सिद्ध कीजिए कि $AP \cdot PB = CP \cdot DP$.

(N/A) $AP \cdot PB = CP \cdot DP$ सिद्ध करने के लिए,हम त्रिभुजों $\Delta APC$ और $\Delta DPB$ पर विचार करते हैं।
$1$. $\angle APC = \angle DPB$ (शीर्षाभिमुख कोण)।
$2$. $\angle CAP = \angle BDP$ (एक ही वृत्तखंड में बने कोण बराबर होते हैं)।
$AA$ (कोण-कोण) समरूपता कसौटी के अनुसार,$\Delta APC \sim \Delta DPB$ है।
चूंकि समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाएँ समानुपाती होती हैं,इसलिए:
$\frac{AP}{DP} = \frac{PC}{PB} = \frac{AC}{DB}$
प्रथम दो अनुपातों को लेने पर:
$\frac{AP}{DP} = \frac{PC}{PB}$
वज्र-गुणन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$AP \cdot PB = PC \cdot DP$ (या $AP \cdot PB = CP \cdot DP$)।