आकृति में,$D$ त्रिभुज $\Delta ABC$ के कर्ण $AC$ पर स्थित एक बिंदु है,इस प्रकार कि $BD \perp AC,$ $DM \perp BC,$ और $DN \perp AB$ है। सिद्ध कीजिए कि $DN^{2} = DM \cdot AN.$

(N/A) चतुर्भुज $DMBN$ में,चूंकि $\angle DMB = 90^{\circ},$ $\angle DNB = 90^{\circ},$ और $\angle MBN = 90^{\circ}$ (दिया है कि $\angle ABC = 90^{\circ}$),इसलिए चौथा कोण $\angle MDN$ भी $90^{\circ}$ होगा। अतः,$DMBN$ एक आयत है।
इसलिए,$DM = NB$ और $DN = MB.$
$\Delta ABC$ में,$BD \perp AC.$ समकोण त्रिभुज में समरूप त्रिभुजों के गुणधर्म के अनुसार,$\Delta ADN \sim \Delta ABD$ और $\Delta BDC \sim \Delta ABD$ होता है।
अधिक स्पष्ट रूप से,$\Delta DNB$ और $\Delta ADN$ में:
$\angle DNB = \angle DNA = 90^{\circ}.$
$\angle NDB = \angle DAN$ (क्योंकि दोनों $\angle ADN$ के पूरक कोण हैं)।
अतः,$AA$ समरूपता कसौटी से $\Delta DNB \sim \Delta ADN$ है।
इसलिए,$\frac{DN}{AN} = \frac{NB}{DN}.$
$DN^{2} = AN \cdot NB.$
चूंकि $NB = DM,$ इसलिए हमें प्राप्त होता है $DN^{2} = AN \cdot DM.$