आकृति में,$D$ त्रिभुज $\Delta ABC$ के कर्ण $AC$ पर एक बिंदु है,इस प्रकार कि $BD \perp AC,$ $DM \perp BC,$ और $DN \perp AB$ है। सिद्ध कीजिए कि $DM^{2} = DN \cdot MC.$

(N/A) $DB$ को मिलाइए।
हमारे पास $DN \parallel CB,$ $DM \parallel AB,$ और $\angle B = 90^{\circ}$ है।
अतः,$DMBN$ एक आयत है।
इस प्रकार,$DN = MB$ और $DM = NB$ है।
चूँकि $D,$ $B$ से $AC$ पर खींचे गए लंब का पाद है,इसलिए $\angle CDB = 90^{\circ}$ है।
$\angle 2 + \angle 3 = 90^{\circ} \dots(1)$
$\Delta CDM$ में,$\angle 1 + \angle 2 + \angle DMC = 180^{\circ} \Rightarrow \angle 1 + \angle 2 = 90^{\circ} \dots(2)$
$\Delta DMB$ में,$\angle 3 + \angle DMB + \angle 4 = 180^{\circ} \Rightarrow \angle 3 + \angle 4 = 90^{\circ} \dots(3)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ से,हमें $\angle 1 = \angle 3$ प्राप्त होता है।
समीकरण $(1)$ और $(3)$ से,हमें $\angle 2 = \angle 4$ प्राप्त होता है।
$\Delta DCM$ और $\Delta BDM$ में,
$\angle 1 = \angle 3$ (ऊपर सिद्ध किया गया)
$\angle 2 = \angle 4$ (ऊपर सिद्ध किया गया)
अतः,$\Delta DCM \sim \Delta BDM$ ($AA$ समरूपता कसौटी द्वारा)।
इस प्रकार,$\frac{BM}{DM} = \frac{DM}{MC}$ है।
चूँकि $BM = DN,$ इसलिए $\frac{DN}{DM} = \frac{DM}{MC}$ है।
अतः,$DM^{2} = DN \cdot MC$ सिद्ध होता है।