आकृति में,$\angle OAB = 30^{\circ}$ और $\angle OCB = 57^{\circ}$ है। $\angle BOC$ और $\angle AOC$ ज्ञात कीजिए।
(N/A) $\Delta OBC$ में,हमारे पास है:
$OB = OC$ (एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ)
इसलिए,$\angle OCB = \angle OBC = 57^{\circ}$ (चूंकि $\angle OCB = 57^{\circ}$ दिया गया है,और समान भुजाओं के सम्मुख कोण समान होते हैं)।
अब,$\Delta BOC$ में,कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है:
$\angle OCB + \angle OBC + \angle BOC = 180^{\circ}$
$57^{\circ} + 57^{\circ} + \angle BOC = 180^{\circ}$
$114^{\circ} + \angle BOC = 180^{\circ}$
$\angle BOC = 180^{\circ} - 114^{\circ} = 66^{\circ}$।
$\Delta OAB$ में,हमारे पास है:
$OA = OB$ (एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ)
इसलिए,$\angle OBA = \angle OAB = 30^{\circ}$।
$\Delta OAB$ में,कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है:
$\angle OAB + \angle OBA + \angle AOB = 180^{\circ}$
$30^{\circ} + 30^{\circ} + \angle AOB = 180^{\circ}$
$\angle AOB = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$।
चूंकि $\angle AOB = \angle AOC + \angle BOC$,इसलिए:
$120^{\circ} = \angle AOC + 66^{\circ}$
$\angle AOC = 120^{\circ} - 66^{\circ} = 54^{\circ}$।
अतः,$\angle BOC = 66^{\circ}$ और $\angle AOC = 54^{\circ}$ है।
$OB = OC$ (एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ)
इसलिए,$\angle OCB = \angle OBC = 57^{\circ}$ (चूंकि $\angle OCB = 57^{\circ}$ दिया गया है,और समान भुजाओं के सम्मुख कोण समान होते हैं)।
अब,$\Delta BOC$ में,कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है:
$\angle OCB + \angle OBC + \angle BOC = 180^{\circ}$
$57^{\circ} + 57^{\circ} + \angle BOC = 180^{\circ}$
$114^{\circ} + \angle BOC = 180^{\circ}$
$\angle BOC = 180^{\circ} - 114^{\circ} = 66^{\circ}$।
$\Delta OAB$ में,हमारे पास है:
$OA = OB$ (एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ)
इसलिए,$\angle OBA = \angle OAB = 30^{\circ}$।
$\Delta OAB$ में,कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है:
$\angle OAB + \angle OBA + \angle AOB = 180^{\circ}$
$30^{\circ} + 30^{\circ} + \angle AOB = 180^{\circ}$
$\angle AOB = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$।
चूंकि $\angle AOB = \angle AOC + \angle BOC$,इसलिए:
$120^{\circ} = \angle AOC + 66^{\circ}$
$\angle AOC = 120^{\circ} - 66^{\circ} = 54^{\circ}$।
अतः,$\angle BOC = 66^{\circ}$ और $\angle AOC = 54^{\circ}$ है।
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बताइए कि निम्नलिखित कथन सत्य है या असत्य और अपने उत्तर का औचित्य दीजिए: यदि $AOB$ एक वृत्त का व्यास है और $C$ वृत्त पर स्थित एक बिंदु है,तो $AC^{2} + BC^{2} = AB^{2}$।
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