'$LEADER$' शब्द के अक्षरों को कितने तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है?

$P_1$ और $P_2$ दो अलग और प्रतिच्छेदी समतल हैं। तीन असंरेख बिंदु $P_1$ पर स्थित हैं और अन्य तीन असंरेख बिंदु $P_2$ पर स्थित हैं (कोई भी बिंदु समतलों की प्रतिच्छेदन रेखा पर नहीं है)। तो इन छह बिंदुओं का उपयोग करके बनने वाले चतुष्फलकों (tetrahedrons) की अधिकतम संख्या है:

यदि $S_3$,$S_1$ और $S_2$ के बाद भाषण देना चाहता है,तो $5$ वक्ता $S_1, S_2, S_3, S_4$ और $S_5$ एक के बाद एक कितने तरीकों से भाषण दे सकते हैं?

एक समतल में $37$ सीधी रेखाएं हैं जिनमें से $13$ रेखाएं बिंदु $A$ से गुजरती हैं और $11$ रेखाएं बिंदु $B$ से गुजरती हैं। इसके अलावा,कोई भी तीन रेखाएं एक बिंदु से नहीं गुजरती हैं,कोई भी रेखा $A$ और $B$ दोनों बिंदुओं से नहीं गुजरती है और कोई भी दो रेखाएं समानांतर नहीं हैं। तो रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदुओं की संख्या क्या है?

जब दस व्यक्ति एक-दूसरे से हाथ मिलाते हैं,तो यह कितने तरीकों से संभव है?

$500$ और $600$ के बीच ऐसी कितनी संख्याएँ बनाई जा सकती हैं जो अंकों $1, 2, 3, 4, 5, 6$ की सहायता से बनी हों और अंकों की पुनरावृत्ति न हो?