એક ઉપવલયમાં,ગૌણ અક્ષ $8$ છે અને ઉત્કેન્દ્રતા $\frac{\sqrt{5}}{3}$ છે. તો મુખ્ય અક્ષ છે:

જો $\beta$ એ ઉપવલય $x^2 + 3y^2 = 9$ ના બિંદુઓ $(3\cos \theta, \sqrt{3} \sin \theta)$ અને $(-3\sin \theta, \sqrt{3} \cos \theta)$ આગળના અભિલંબ વચ્ચેનો એક ખૂણો હોય,જ્યાં $\theta \in (0, \pi/2)$,તો $\frac{2 \cot \beta}{\sin 2\theta}$ ની કિંમત શોધો.

જો સમીકરણો $x = 1 + 2 \cos \theta$ અને $y = 2 + \sin \theta$ જ્યાં $0 \leq \theta < 2 \pi$ એક ઉપવલય દર્શાવે છે,તો આ ઉપવલય પરના બિંદુ $P(\theta = \pi/4)$ આગળ દોરેલ અભિલંબ અને તેના મુખ્ય અક્ષનું છેદબિંદુ શોધો.

ધારો કે $F$ અને $F'$ એ ઉપવલય $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{b^2}=1$ $(b < 2)$ ના નાભિઓ છે અને $B$ એ ગૌણ અક્ષનું એક અંત્યબિંદુ છે. જો ત્રિકોણ $FBF'$ નું ક્ષેત્રફળ $\sqrt{3}$ ચોરસ એકમ હોય,તો ઉપવલયની ઉત્કેન્દ્રતા શોધો.

ધારો કે $A(\alpha, 0)$ અને $B(0, \beta)$ એ રેખા $5x + 7y = 50$ પરના બિંદુઓ છે. ધારો કે બિંદુ $P$ એ રેખાખંડ $AB$ નું $7:3$ ના ગુણોત્તરમાં અંતઃવિભાજન કરે છે. ધારો કે $3x - 25 = 0$ એ ઉપવલય $E: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ની નિયામિકા છે અને તેને અનુરૂપ નાભિ $S$ છે. જો $S$ માંથી $x$-અક્ષ પર દોરેલો લંબ $P$ માંથી પસાર થતો હોય,તો $E$ ના નાભિલંબની લંબાઈ કેટલી થાય?

ઉપવલય $(x - 3)^2 + (y - 4)^2 = \frac{y^2}{9}$ ની ઉત્કેન્દ્રતા (eccentricity) શોધો.