$(x + \frac{2}{x^2})^{15}$ ના વિસ્તરણમાં,$x$ થી સ્વતંત્ર પદ કયું છે?

$\left[\frac{(x+1)}{\left(x^{2 / 3}-x^{1 / 3}+1\right)}-\frac{(x-1)}{(x-\sqrt{x})}\right]^{10}$ ના વિસ્તરણમાં $x(x>0, x \neq 1)$ થી સ્વતંત્ર પદ શોધો.

ધારો કે $(x + \frac{a}{x^2})^n, x \neq 0$ ના વિસ્તરણમાં ત્રીજા,ચોથા અને પાંચમા પદના સહગુણકોનો ગુણોત્તર $12 : 8 : 3$ છે. તો આ વિસ્તરણમાં $x$ થી સ્વતંત્ર પદ ...... ની બરાબર છે.

ધારો કે $(2x^2 + 3x + 4)^{10} = \sum_{r=0}^{20} a_r x^r$. તો $\frac{a_7}{a_{13}}$ ની કિંમત શોધો.

$\left(\frac{x+1}{x^{2/3}-x^{1/3}+1}-\frac{x-1}{x-x^{1/2}}\right)^{10}$ ના વિસ્તરણમાં '$x$' થી સ્વતંત્ર પદ,જ્યાં $x \neq 0, 1$,તે $.....$ ની બરાબર છે.

ધારો કે $\left(\frac{1}{\sqrt{6}}+\beta x\right)^{4}$,$(1-3 \beta x)^{2}$ અને $\left(1-\frac{\beta}{2} x\right)^{6}$ ના વિસ્તરણમાં મધ્યમ પદોના સહગુણકો,જ્યાં $\beta > 0$,અનુક્રમે $A.P.$ ના પ્રથમ ત્રણ પદો બનાવે છે. જો $d$ એ આ $A.P.$ નો સામાન્ય તફાવત હોય,તો $50-\frac{2 d}{\beta^{2}}$ ની કિંમત શોધો.