(1+x)^n के विस्तार में,frac{C_1}{C_0} + 2 fra | vedclass

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Question

(A) हम जानते हैं कि $C_r = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$.अतः,$\frac{C_r}{C_{r-1}} = \frac{n-r+1}{r}$.दिया गया व्यंजक $S = \sum_{r=1}^{n} r \frac

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$\frac{n(n+1)}{2}$

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(A) हम जानते हैं कि $C_r = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$.अतः,$\frac{C_r}{C_{r-1}} = \frac{n-r+1}{r}$.दिया गया व्यंजक $S = \sum_{r=1}^{n} r \frac{C_r}{C_{r-1}}$ है।मान रखने पर: $S = \sum_{r=1}^{n} r \left( \frac{n-r+1}{r} \right) = \sum_{r=1}^{n} (n-r+1)$.योग करने पर: $S = n + (n-1) + (n-2) + \ldots + 1$.यह प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं का योग है,जो $\frac{n(n+1)}{2}$ के बराबर है।

$(1+x)^n$ के विस्तार में,$\frac{C_1}{C_0} + 2 \frac{C_2}{C_1} + 3 \frac{C_3}{C_2} + \ldots + n \frac{C_n}{C_{n-1}}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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$^nC_0 - \frac{1}{2} ^nC_1 + \frac{1}{3} ^nC_2 - \dots + (-1)^n \frac{^nC_n}{n+1} = $

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$^{4n}C_0 + ^{4n}C_4 + ^{4n}C_8 + ... + ^{4n}C_{4n}$ का मान क्या है?

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