कथन -1: sum_{r=0}^{n} (r+1) binom{n}{r} = (n+ | vedclass

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Question

(D) माना $S = \sum_{r=0}^{n} (r+1) \binom{n}{r} x^r$.इसे $S = \sum_{r=0}^{n} r \binom{n}{r} x^r + \sum_{r=0}^{n} \binom{n}{r} x^r$ के रूप में लिखा जा

Vedclass · Accepted Answer

कथन $-1$ सत्य है,कथन $-2$ सत्य है; कथन $-2$,कथन $-1$ की सही व्याख्या है

Vedclass · Answer

(D) माना $S = \sum_{r=0}^{n} (r+1) \binom{n}{r} x^r$.इसे $S = \sum_{r=0}^{n} r \binom{n}{r} x^r + \sum_{r=0}^{n} \binom{n}{r} x^r$ के रूप में लिखा जा सकता है।सर्वसमिका $r \binom{n}{r} = n \binom{n-1}{r-1}$ का उपयोग करने पर:$S = \sum_{r=1}^{n} n \binom{n-1}{r-1} x^r + (1+x)^n$$S = nx \sum_{r=1}^{n} \binom{n-1}{r-1} x^{r-1} + (1+x)^n$$S = nx(1+x)^{n-1} + (1+x)^n$.अतः,कथन $-2$ सत्य है।कथन $-1$ की जाँच करने के लिए,कथन $-2$ के परिणाम में $x=1$ रखने पर:$S(1) = n(1)(1+1)^{n-1} + (1+1)^n = n 2^{n-1} + 2^n = 2^{n-1} (n + 2)$.अतः,कथन $-1$ सत्य है और कथन $-2$,कथन $-1$ की सही व्याख्या है।

कथन $-1$: $\sum_{r=0}^{n} (r+1) \binom{n}{r} = (n+2) 2^{n-1}$
कथन $-2$: $\sum_{r=0}^{n} (r+1) \binom{n}{r} x^r = (1+x)^n + nx(1+x)^{n-1}$

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$-{ }^{15}C_{1} + 2 \cdot { }^{15}C_{2} - 3 \cdot { }^{15}C_{3} + \ldots - 15 \cdot { }^{15}C_{15} + { }^{14}C_{1} + { }^{14}C_{3} + { }^{14}C_{5} + \ldots + { }^{14}C_{11}$ का मान है

मान लीजिए $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ है। तो योग $\frac{1}{2^{10}} \sum_{k=0}^{10} \binom{10}{k} k^2$ किस अंतराल में स्थित है?

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कथन $-1$: $\sum_{r=0}^{n} (r+1) \binom{n}{r} = (n+2) 2^{n-1}$कथन $-2$: $\sum_{r=0}^{n} (r+1) \binom{n}{r} x^r = (1+x)^n + nx(1+x)^{n-1}$