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Question

(A) समतलों $A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0$ और $A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0$ के अभिलंब के दिक अनुपात क्रमशः $(A_1, B_1, C_1)$ और $(A_2, B_2, C_2)$ हैं।

Vedclass · Accepted Answer

$\cos^{-1} \left( \frac{2}{5} \right)$

Vedclass · Answer

(A) समतलों $A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0$ और $A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0$ के अभिलंब के दिक अनुपात क्रमशः $(A_1, B_1, C_1)$ और $(A_2, B_2, C_2)$ हैं।यदि $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2}$ हो,तो समतल समांतर होते हैं।यदि $A_1A_2 + B_1B_2 + C_1C_2 = 0$ हो,तो समतल लंबवत होते हैं।समतलों के बीच का कोण $	heta$ इस प्रकार दिया जाता है: $\cos 	heta = \left| \frac{A_1A_2 + B_1B_2 + C_1C_2}{\sqrt{A_1^2 + B_1^2 + C_1^2} \sqrt{A_2^2 + B_2^2 + C_2^2}} ight|$.दिए गए समतलों $7x + 5y + 6z + 30 = 0$ और $3x - y - 10z + 4 = 0$ के लिए:$A_1 = 7, B_1 = 5, C_1 = 6$$A_2 = 3, B_2 = -1, C_2 = -10$लंबवतता की जाँच:$A_1A_2 + B_1B_2 + C_1C_2 = (7)(3) + (5)(-1) + (6)(-10) = 21 - 5 - 60 = -44 
eq 0$.अतः,समतल लंबवत नहीं हैं।समांतरता की जाँच:$\frac{A_1}{A_2} = \frac{7}{3}, \frac{B_1}{B_2} = \frac{5}{-1} = -5, \frac{C_1}{C_2} = \frac{6}{-10} = -0.6$.चूँकि $\frac{7}{3} 
eq -5 
eq -0.6$,इसलिए समतल समांतर नहीं हैं।कोण $	heta$ की गणना:$\cos 	heta = \left| \frac{-44}{\sqrt{7^2 + 5^2 + 6^2} \sqrt{3^2 + (-1)^2 + (-10)^2}} ight|$$\cos 	heta = \left| \frac{-44}{\sqrt{49 + 25 + 36} \sqrt{9 + 1 + 100}} ight| = \left| \frac{-44}{\sqrt{110} \sqrt{110}} ight| = \frac{44}{110} = \frac{2}{5}$.अतः,$	heta = \cos^{-1} \left( \frac{2}{5} ight)$.

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