સમૂહ $(G, \times_{15})$ માં,જ્યાં $G = \{3, 6, 9, 12\}$ અને $\times_{15}$ એ $15$ મોડ્યુલો ગુણાકાર છે,તો તટસ્થ ઘટક (identity element) કયો છે?

ધારો કે $*$ એ $R$ પર વ્યાખ્યાયિત દ્વિ ક્રિયા છે,જ્યાં $a * b = \frac{a+b}{4}$ તમામ $a, b \in R$ માટે. તો આ ક્રિયા $*$ કેવી છે?

ગણ $N$ પર નીચેનામાંથી કઈ દ્વિતીય ક્રિયાઓ જૂથના નિયમનું પાલન કરે છે અને કઈ ક્રમનો નિયમ પાળે છે તે નક્કી કરો: $a \ast b = 1$,દરેક $a, b \in N$ માટે.

નીચે આપેલ $*$ ની વ્યાખ્યાઓ પૈકી કઈ દ્રીક ક્રિયા (binary operation) છે તે નક્કી કરો. જો $*$ દ્રીક ક્રિયા ન હોય,તો તેનું કારણ આપો. $Z^{+}$ પર,$*$ ને $a * b = a$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરો.

બધી પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના ગણ $N$ પર,નીચેનામાંથી કઈ ક્રિયા $*$ એ દ્વિ-આધારિત ક્રિયા (binary operation) છે?

સાબિત કરો કે $(a, b) \rightarrow a+4 b^{2}$ દ્વારા આપવામાં આવેલ $*: R \times R \rightarrow R$ એ દ્વિ ક્રિયા (binary operation) છે.