माध्य मान प्रमेय (Mean Value Theorem) में,$f(b) - f(a) = (b - a)f'(c)$ है। यदि $a = 4$,$b = 9$ और $f(x) = \sqrt{x}$ है,तो $c$ का मान ज्ञात कीजिए।

अंतराल $[1,3]$ में List-$I$ में दिए गए सभी फलनों पर विचार करें। List-$II$ में List-$I$ के फलनों पर लैग्रेंज के माध्य मान प्रमेय $(LMVT)$ को लागू करके प्राप्त '$c$' के मान हैं। फलनों और '$c$' के मानों का मिलान करें।
(Table same as English)

यदि $f(x)$,अंतराल $[2, 5]$ में अवकलनीय है जहाँ $f(2) = 1/5$ और $f(5) = 1/2$ है,तो $2 < c < 5$ के लिए एक ऐसी संख्या $c$ का अस्तित्व है कि $f'(c) = \dots$

यदि फलन $f(x) = x^3 - 6x^2 + ax + b$ अंतराल $[1, 3]$ में रोले के प्रमेय को संतुष्ट करता है और $f'\left( \frac{2\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3}} \right) = 0$ है,तो $a = $ ..............

अंतराल $[1, 3]$ में फलन $f(x) = x^{3} - 5x^{2} - 3x$ के लिए माध्य मान प्रमेय (Mean Value Theorem) को सत्यापित कीजिए। सभी $c \in (1, 3)$ ज्ञात कीजिए जिनके लिए $f^{\prime}(c) = \frac{f(3) - f(1)}{3 - 1}$ हो।

अंतराल $[-2, 2]$ में वक्र $y = x^3$ के बिंदुओं का भुज (abscissa),जहाँ स्पर्श रेखा की ढाल माध्य मान प्रमेय (Mean Value Theorem) के अनुसार अंतराल $[-2, 2]$ के लिए छेदक रेखा की ढाल के बराबर है,ज्ञात कीजिए: