अंतराल $[1, 3]$ में फलन $f(x) = x^{3} - 5x^{2} - 3x$ के लिए माध्य मान प्रमेय (Mean Value Theorem) को सत्यापित कीजिए। सभी $c \in (1, 3)$ ज्ञात कीजिए जिनके लिए $f^{\prime}(c) = \frac{f(3) - f(1)}{3 - 1}$ हो।

(C) दिया गया फलन $f(x) = x^{3} - 5x^{2} - 3x$ है।
चूंकि $f(x)$ एक बहुपद फलन है,यह $[1, 3]$ पर सतत है और $(1, 3)$ पर अवकलनीय है।
इसका अवकलज $f^{\prime}(x) = 3x^{2} - 10x - 3$ है।
अंत बिंदुओं पर मान ज्ञात कीजिए:
$f(1) = (1)^{3} - 5(1)^{2} - 3(1) = 1 - 5 - 3 = -7$.
$f(3) = (3)^{3} - 5(3)^{2} - 3(3) = 27 - 45 - 9 = -27$.
प्रतिच्छेदी रेखा की ढाल $\frac{f(3) - f(1)}{3 - 1} = \frac{-27 - (-7)}{2} = \frac{-20}{2} = -10$ है।
माध्य मान प्रमेय के अनुसार,एक ऐसा $c \in (1, 3)$ मौजूद है जिसके लिए $f^{\prime}(c) = -10$ हो।
$3c^{2} - 10c - 3 = -10$.
$3c^{2} - 10c + 7 = 0$.
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $3c^{2} - 3c - 7c + 7 = 0 \Rightarrow 3c(c - 1) - 7(c - 1) = 0$.
$(3c - 7)(c - 1) = 0$.
इससे $c = 1$ या $c = \frac{7}{3}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $c \in (1, 3)$,इसलिए केवल $c = \frac{7}{3}$ ही मान्य मान है।