અંતરાલ $[1, 3]$ માં વિધેય $f(x) = x^{3} - 5x^{2} - 3x$ માટે મધ્યકમાન પ્રમેય (Mean Value Theorem) ચકાસો. $c \in (1, 3)$ શોધો જેના માટે $f^{\prime}(c) = \frac{f(3) - f(1)}{3 - 1}$ થાય.

(C) આપેલ વિધેય $f(x) = x^{3} - 5x^{2} - 3x$ છે.
$f(x)$ બહુપદી વિધેય હોવાથી,તે $[1, 3]$ પર સતત છે અને $(1, 3)$ પર વિકલનીય છે.
તેનું વિકલન $f^{\prime}(x) = 3x^{2} - 10x - 3$ છે.
અંતિમ બિંદુઓ પર કિંમતો શોધો:
$f(1) = (1)^{3} - 5(1)^{2} - 3(1) = 1 - 5 - 3 = -7$.
$f(3) = (3)^{3} - 5(3)^{2} - 3(3) = 27 - 45 - 9 = -27$.
છેદિકા રેખાનો ઢાળ $\frac{f(3) - f(1)}{3 - 1} = \frac{-27 - (-7)}{2} = \frac{-20}{2} = -10$ છે.
મધ્યકમાન પ્રમેય મુજબ,એવું $c \in (1, 3)$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $f^{\prime}(c) = -10$ થાય.
$3c^{2} - 10c - 3 = -10$.
$3c^{2} - 10c + 7 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $3c^{2} - 3c - 7c + 7 = 0 \Rightarrow 3c(c - 1) - 7(c - 1) = 0$.
$(3c - 7)(c - 1) = 0$.
આથી $c = 1$ અથવા $c = \frac{7}{3}$ મળે છે.
$c \in (1, 3)$ હોવાથી,માત્ર $c = \frac{7}{3}$ શક્ય છે.