પૂર્ણાંક સંખ્યાઓના ગણ $(Z, *)$ માં,જો $a * b = a + b - n, \forall a, b \in Z$ હોય,જ્યાં $n$ એક નિશ્ચિત પૂર્ણાંક છે,તો $(-n)$ નો વ્યસ્ત શોધો:

નીચે આપેલ $*$ ની વ્યાખ્યા દ્વિ-ક્રિયા (binary operation) છે કે નહીં તે નક્કી કરો. જો $*$ દ્વિ-ક્રિયા ન હોય,તો તેનું કારણ આપો. $Z^{+}$ પર,$*$ ને $a * b = a - b$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરો.

સાબિત કરો કે સરવાળો, બાદબાકી અને ગુણાકાર એ $R$ પર દ્વિ-ક્રિયાઓ (binary operations) છે, પરંતુ ભાગાકાર એ $R$ પર દ્વિ-ક્રિયા નથી. વધુમાં, સાબિત કરો કે ભાગાકાર એ શૂન્યતર વાસ્તવિક સંખ્યાઓના ગણ $R_*$ પર દ્વિ-ક્રિયા છે.

ધારો કે $^*$ એ $N$ પરની દ્વિ-ક્રિયા છે જે $a \, ^* \, b = a \text{ અને } b \text{ નો લ.સા.અ.}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. શું $^*$ ક્રમનો નિયમ પાળે છે?

સાબિત કરો કે $\{1, 2\}$ પર $1$ ને તટસ્થ ઘટક (identity) તરીકે અને $2$ ને $2$ ના વ્યસ્ત (inverse) તરીકે ધરાવતી દ્રીકક્રિયાઓની સંખ્યા માત્ર એક જ છે.

ધારો કે $^*$ એ સંમેય સંખ્યાઓના ગણ $Q$ પરની દ્વિ-ક્રિયા છે,જે $a \,^*\, b = a b^{2}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે. નક્કી કરો કે આ ક્રિયા ક્રમનો નિયમ અને જૂથનો નિયમ પાળે છે કે નહીં.