समलंब चतुर्भुज $ABCD$ में,$AB \parallel DC$ और $L$,$BC$ का मध्य-बिंदु है। $L$ से होकर एक रेखा $PQ \parallel AD$ खींची गई है जो $AB$ को $P$ पर और $DC$ को बढ़ाने पर $Q$ पर मिलती है। सिद्ध कीजिए कि $\operatorname{ar}(ABCD) = \operatorname{ar}(APQD)$।

(N/A) दिया है: समलंब चतुर्भुज $ABCD$ में,$AB \parallel DC$ और $L$,$BC$ का मध्य-बिंदु है। $PQ \parallel AD$ रेखा $AB$ को $P$ पर और $DC$ को बढ़ाने पर $Q$ पर मिलती है।
सिद्ध करना है: $\operatorname{ar}(ABCD) = \operatorname{ar}(APQD)$।
उपपत्ति:
$\triangle CLQ$ और $\triangle BLP$ में:
$1$. $\angle QCL = \angle LBP$ (एकांतर अंतःकोण,क्योंकि $AB \parallel DQ$)
$2$. $CL = LB$ (दिया है,$L$,$BC$ का मध्य-बिंदु है)
$3$. $\angle CLQ = \angle BLP$ (शीर्षाभिमुख कोण)
अतः,$ASA$ सर्वांगसमता नियम से $\triangle CLQ \cong \triangle BLP$ है।
चूँकि त्रिभुज सर्वांगसम हैं,इसलिए उनके क्षेत्रफल बराबर होंगे: $\operatorname{ar}(\triangle CLQ) = \operatorname{ar}(\triangle BLP)$ ... $(1)$
अब,समीकरण $(1)$ के दोनों पक्षों में $\operatorname{ar}(APLCD)$ जोड़ने पर:
$\operatorname{ar}(\triangle CLQ) + \operatorname{ar}(APLCD) = \operatorname{ar}(\triangle BLP) + \operatorname{ar}(APLCD)$
इससे प्राप्त होता है:
$\operatorname{ar}(APQD) = \operatorname{ar}(ABCD)$
अतः,$\operatorname{ar}(ABCD) = \operatorname{ar}(APQD)$ सिद्ध हुआ।