त्रिभुज $ABC$ में,यदि $\frac{a+b+c}{BC+AB}+\frac{a+b+c}{AC+AB}=3$ है,तो $\tan \frac{C}{8}=$

एक गैर-समकोण त्रिभुज $\triangle PQR$ में, मान लीजिए $p, q, r$ क्रमशः $P, Q, R$ कोणों के सम्मुख भुजाओं की लंबाई दर्शाते हैं। $R$ से खींची गई माध्यिका भुजा $PQ$ को $S$ पर मिलती है, $P$ से खींचा गया लंब भुजा $QR$ को $E$ पर मिलता है, और $RS$ तथा $PE$ बिंदु $O$ पर प्रतिच्छेद करते हैं। यदि $p=\sqrt{3}, q=1$, और $\triangle PQR$ के परिवृत्त की त्रिज्या $1$ है, तो निम्नलिखित में से कौन सा/से विकल्प सही है/हैं?
$(1)$ $\triangle SOE$ का क्षेत्रफल $= \frac{\sqrt{3}}{48}$
$(2)$ $\triangle PQR$ के अंतःवृत्त की त्रिज्या $= \frac{\sqrt{3}}{2}(2-\sqrt{3})$
$(3)$ $RS$ की लंबाई $= \frac{\sqrt{7}}{2}$
$(4)$ $OE$ की लंबाई $= \frac{1}{6}$

किसी भी $\triangle ABC$ में,$b^2 \sin 2C + c^2 \sin 2B$ किसके बराबर है?

कथन-$I$: अंतराल $[0, 2\pi]$ में,समीकरणों $2 \sin^2 \theta - \cos 2\theta = 0$ और $2 \cos^2 \theta - 3 \sin \theta = 0$ के उभयनिष्ठ हलों की संख्या दो है।
कथन-$II$: $[0, \pi]$ में $2 \cos^2 \theta - 3 \sin \theta = 0$ के हलों की संख्या दो है।

यदि एक त्रिभुज के कोण $A, B, C$ समांतर श्रेणी $(A.P.)$ में हैं और इन कोणों के सम्मुख भुजाएँ $a, b, c$ गुणोत्तर श्रेणी $(G.P.)$ में हैं,तो $a^2, b^2, c^2$ किसमें हैं?

$\triangle PQR$ में,मान लीजिए $\angle P > \angle Q$ है। यदि $\angle P$ और $\angle Q$ के रेडियन माप समीकरण $4 \sin^3 x - 3 \sin x + a = 0$ को संतुष्ट करते हैं,जहाँ $0 < a < 1$ है,तो $\angle R$ का रेडियन माप क्या है?