નીચેનામાંથી કઈ પરિસ્થિતિમાં સંખ્યાઓની યાદી $AP$ (સમાંતર શ્રેણી) બનાવે છે? તમારા જવાબ માટે કારણો આપો.
$(i)$ શાળા દ્વારા આખા સત્ર માટે વિદ્યાર્થી પાસેથી દર મહિને લેવામાં આવતી ફી,જ્યારે માસિક ફી $Rs. 400$ છે.
$(ii)$ ધોરણ $I$ થી $XII$ સુધીની શાળા દ્વારા દર મહિને લેવામાં આવતી ફી,જ્યારે ધોરણ $I$ માટે માસિક ફી $Rs. 250$ છે અને તે પછીના દરેક ઉચ્ચ ધોરણ માટે $Rs. 50$ વધે છે.
$(iii)$ વરુણના ખાતામાં દર વર્ષના અંતે જમા થયેલી રકમ,જ્યારે $Rs. 1000$ ને $10\%$ પ્રતિ વર્ષના સાદા વ્યાજે જમા કરવામાં આવે છે.
$(iv)$ દર સેકન્ડે અમુક ખાદ્ય પદાર્થમાં બેક્ટેરિયાની સંખ્યા,જ્યારે તેઓ દર સેકન્ડે બમણા થાય છે.

(A) $(i)$ વિદ્યાર્થી પાસેથી દર મહિને લેવામાં આવતી ફી $400, 400, 400, 400, \ldots$ છે. આ એક $AP$ બનાવે છે કારણ કે સામાન્ય તફાવત $(d) = 400 - 400 = 0$ અચળ છે.
$(ii)$ ધોરણ $I$ થી $XII$ માટે લેવામાં આવતી ફી $250, (250+50), (250+2 \times 50), (250+3 \times 50), \ldots$ એટલે કે $250, 300, 350, 400, \ldots$ છે. આ એક $AP$ બનાવે છે કારણ કે સામાન્ય તફાવત $(d) = 300 - 250 = 50$ અચળ છે.
$(iii)$ એક વર્ષ માટે સાદું વ્યાજ $\frac{1000 \times 10 \times 1}{100} = 100$ છે. દર વર્ષના અંતે ખાતામાં રહેલી રકમ $1000, (1000+100), (1000+200), (1000+300), \ldots$ એટલે કે $1000, 1100, 1200, 1300, \ldots$ છે. આ એક $AP$ બનાવે છે કારણ કે સામાન્ય તફાવત $(d) = 1100 - 1000 = 100$ અચળ છે.
$(iv)$ ધારો કે બેક્ટેરિયાની પ્રારંભિક સંખ્યા $x$ છે. તેઓ દર સેકન્ડે બમણા થાય છે,તેથી શ્રેણી $x, 2x, 4x, 8x, \ldots$ છે. અહીં,$t_2 - t_1 = x$ અને $t_3 - t_2 = 2x$ છે. તફાવત સમાન ન હોવાથી,આ $AP$ બનાવતી નથી.