फलन का समाकलन कीजिए: $\frac{\sin ^{8} x-\cos ^{8} x}{1-2 \sin ^{2} x \cos ^{2} x}$

(D) माना $I = \int \frac{\sin ^{8} x-\cos ^{8} x}{1-2 \sin ^{2} x \cos ^{2} x} \, dx$.
हम जानते हैं कि $\sin ^{8} x - \cos ^{8} x = (\sin ^{4} x - \cos ^{4} x)(\sin ^{4} x + \cos ^{4} x) = (\sin ^{2} x - \cos ^{2} x)(\sin ^{2} x + \cos ^{2} x)(\sin ^{4} x + \cos ^{4} x)$.
चूंकि $\sin ^{2} x + \cos ^{2} x = 1$,इसलिए $\sin ^{8} x - \cos ^{8} x = (\sin ^{2} x - \cos ^{2} x)(\sin ^{4} x + \cos ^{4} x)$.
साथ ही,$\sin ^{4} x + \cos ^{4} x = (\sin ^{2} x + \cos ^{2} x)^{2} - 2 \sin ^{2} x \cos ^{2} x = 1 - 2 \sin ^{2} x \cos ^{2} x$.
इन मानों को समाकल्य में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{(\sin ^{2} x - \cos ^{2} x)(1 - 2 \sin ^{2} x \cos ^{2} x)}{1 - 2 \sin ^{2} x \cos ^{2} x} = \sin ^{2} x - \cos ^{2} x = -(\cos ^{2} x - \sin ^{2} x) = -\cos 2x$.
अतः,$I = \int -\cos 2x \, dx = -\frac{\sin 2x}{2} + C$.