क्या समुच्चय $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ पर $a \,^*\, b = a \text{ और } b \text{ का ल.स.प.}$ द्वारा परिभाषित $^*$ एक द्विआधारी संक्रिया है? अपने उत्तर का औचित्य बताइए।
(D) एक समुच्चय $A$ पर द्विआधारी संक्रिया $^*$ एक फलन $^*: A \times A \to A$ है। इसका अर्थ है कि सभी $a, b \in A$ के लिए,परिणाम $a \,^*\, b$ भी $A$ का एक अवयव होना चाहिए।
मान लीजिए $A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ है। संक्रिया को $a \,^*\, b = a \text{ और } b \text{ का ल.स.प.}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
संक्रिया के द्विआधारी होने के लिए,सभी $a, b \in A$ के लिए $a \,^*\, b$ का $A$ में होना आवश्यक है।
आइए इसे समुच्चय $A$ के कुछ अवयवों के साथ जाँचें:
मान लीजिए $a = 2$ और $b = 3$ है। दोनों $2, 3 \in A$ हैं।
$2 \,^*\, 3 = 2 \text{ और } 3 \text{ का ल.स.प.} = 6$ है।
चूँकि $6 \notin \{1, 2, 3, 4, 5\}$,संक्रिया का परिणाम समुच्चय $A$ में नहीं है।
इसी प्रकार,$2 \,^*\, 5 = 10 \notin A$,$3 \,^*\, 4 = 12 \notin A$,आदि।
चूँकि ऐसे अवयव $a, b \in A$ मौजूद हैं जिनके लिए $a \,^*\, b \notin A$,इसलिए संक्रिया $^*$ समुच्चय $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ पर एक द्विआधारी संक्रिया नहीं है।
मान लीजिए $A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ है। संक्रिया को $a \,^*\, b = a \text{ और } b \text{ का ल.स.प.}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
संक्रिया के द्विआधारी होने के लिए,सभी $a, b \in A$ के लिए $a \,^*\, b$ का $A$ में होना आवश्यक है।
आइए इसे समुच्चय $A$ के कुछ अवयवों के साथ जाँचें:
मान लीजिए $a = 2$ और $b = 3$ है। दोनों $2, 3 \in A$ हैं।
$2 \,^*\, 3 = 2 \text{ और } 3 \text{ का ल.स.प.} = 6$ है।
चूँकि $6 \notin \{1, 2, 3, 4, 5\}$,संक्रिया का परिणाम समुच्चय $A$ में नहीं है।
इसी प्रकार,$2 \,^*\, 5 = 10 \notin A$,$3 \,^*\, 4 = 12 \notin A$,आदि।
चूँकि ऐसे अवयव $a, b \in A$ मौजूद हैं जिनके लिए $a \,^*\, b \notin A$,इसलिए संक्रिया $^*$ समुच्चय $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ पर एक द्विआधारी संक्रिया नहीं है।
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