N = 7^{100} - 3^{100} સંખ્યાના છેલ્લા ત્રણ અં | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) આપણે $N \pmod{1000}$ શોધવાની જરૂર છે,જ્યાં $N = 7^{100} - 3^{100}$.$N = (5+2)^{100} - (5-2)^{100}$ તરીકે લખતા.દ્વિપદી વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા: $(x+y)

Vedclass · Accepted Answer

$000$

Vedclass · Answer

(D) આપણે $N \pmod{1000}$ શોધવાની જરૂર છે,જ્યાં $N = 7^{100} - 3^{100}$.$N = (5+2)^{100} - (5-2)^{100}$ તરીકે લખતા.દ્વિપદી વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા: $(x+y)^n - (x-y)^n = 2 \sum_{k 	ext{ odd}} \binom{n}{k} x^{n-k} y^k$.અહીં $n=100, x=5, y=2$.દરેક પદમાં $5^k$ નો અવયવ છે જ્યાં $k \ge 1$. ખાસ કરીને,$k \ge 3$ માટે,$5^k$ એ $125$ નો ગુણક છે. $2^3=8$ સાથે મળીને,આ પદો $1000$ ના ગુણક બને છે.પ્રથમ પદ $2 \cdot 100 \cdot 5^{99} \cdot 2 = 400 \cdot 5^{99} = 50000 \cdot 5^{96}$ છે,જે $1000$ નો ગુણક છે.આમ,$N \equiv 0 \pmod{1000}$,એટલે કે છેલ્લા ત્રણ અંકો $000$ છે.

$N = 7^{100} - 3^{100}$ સંખ્યાના છેલ્લા ત્રણ અંકો કયા છે?

Similar Questions

$(1 + 0.0001)^{10000}$ થી તરત જ મોટી ધન પૂર્ણાંક સંખ્યા કઈ છે?

$(x^2 - x - 1)^{99}$ ના સહગુણકોનો સરવાળો કેટલો થાય?

જો $(1+x)^p(1-x)^q$ ના વિસ્તરણમાં $x$ અને $x^2$ ના સહગુણકો અનુક્રમે $4$ અને $-5$ હોય,તો $2p+3q$ ની કિંમત શોધો.

$(\sqrt{2} + 1)^6 + (\sqrt{2} - 1)^6$ ની કિંમત શોધો.

દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને, $(0.999)^3$ ની કિંમત $3$ દશાંશ સ્થળ સુધી શું થાય?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module