मान लीजिए $a, b, c, d, e$ पाँच संख्याएँ हैं जो निम्नलिखित समीकरणों के निकाय को संतुष्ट करती हैं:
$2a + b + c + d + e = 6$
$a + 2b + c + d + e = 12$
$a + b + 2c + d + e = 24$
$a + b + c + 2d + e = 48$
$a + b + c + d + 2e = 96$
तो $|c|$ का मान क्या होगा?

मान लीजिए $\alpha, \beta$ और $\gamma$ वास्तविक संख्याएँ हैं ताकि रैखिक समीकरणों की प्रणाली
$x+2y+3z=\alpha$
$4x+5y+6z=\beta$
$7x+8y+9z=\gamma$
संगत है। मान लीजिए $|M|$ मैट्रिक्स के सारणिक को दर्शाता है
$M=\begin{bmatrix} \alpha & 2 & \gamma \\ \beta & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{bmatrix}$
मान लीजिए $P$ वह समतल है जिसमें वे सभी $(\alpha, \beta, \gamma)$ शामिल हैं जिनके लिए उपरोक्त रैखिक समीकरणों की प्रणाली संगत है,और $D$ बिंदु $(0,1,0)$ से समतल $P$ की दूरी का वर्ग है।
$(1)$ $|M|$ का मान है
$(2)$ $D$ का मान है

यदि $[x]$,$x$ से छोटा या उसके बराबर महत्तम पूर्णांक है और $|x|$,$x$ का मापांक है,तो तीन समीकरणों की प्रणाली $\begin{aligned} & 2x + 3|y| + 5[z] = 0, \\ & x + |y| - 2[z] = 4, \\ & x + |y| + [z] = 1 \end{aligned}$ के

यदि समीकरणों के निकाय
$2x + 7y + \lambda z = 3$
$3x + 2y + 5z = 4$
$x + \mu y + 32z = -1$
के अनंत हल हैं,तो $(\lambda - \mu)$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि रैखिक समीकरणों के निकाय $x+y-z=6$,$3x+2y-z=5$ और $2x-y-2z+3=0$ का हल $x=\alpha, y=\beta, z=\gamma$ है,तो $\alpha+\beta=$

यदि समीकरणों की प्रणाली
$ 11 x+y+\lambda z=-5 $
$ 2 x+3 y+5 z=3 $
$ 8 x-19 y-39 z=\mu $
के अनंत हल हैं,तो $ \lambda^4-\mu $ का मान ज्ञात कीजिए: