मान लीजिए f : R to R एक दो बार अवकलनीय फलन है | vedclass

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Question

(A) दिया गया है कि $f'(x) = f^2(x)$ और $f(0) = 0$ है। यदि $f(x)$ शून्य फलन नहीं है,तो $\frac{f'(x)}{f^2(x)} = 1$ होगा। दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,

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$2f'(2) + 4f''(2)$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया है कि $f'(x) = f^2(x)$ और $f(0) = 0$ है। यदि $f(x)$ शून्य फलन नहीं है,तो $\frac{f'(x)}{f^2(x)} = 1$ होगा। दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$-\frac{1}{f(x)} = x + c$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $f(x) = -\frac{1}{x+c}$। हालाँकि,$f(0) = 0$ का अर्थ है $-\frac{1}{c} = 0$,जो संभव नहीं है। अतः,$f(0) = 0$ और $f'(x) = f^2(x)$ को संतुष्ट करने वाला एकमात्र अवकलनीय फलन $f(x) = 0$ है। यदि $f(x) = 0$ है,तो $f'(x) = 0$ और $f''(x) = 0$ होगा। इसलिए,$\lim_{x 	o 2} (f(x) + xf'(x) + x^2f''(x)) = 0 + 2(0) + 4(0) = 0$। विकल्पों की जाँच करने पर,$A$ और $B$ दोनों $0$ परिणाम देते हैं,अतः $A$ सही उत्तर है।

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