मान लीजिए f(x),[0, 2] में एक अवकलनीय फलन है,f | vedclass

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Question

(A) $Lagrange$ के $Mean$ $Value$ $Theorem$ $(LMVT)$ के अनुसार,किसी भी $x \in (0, 2]$ के लिए,एक $c \in (0, x)$ ऐसा विद्यमान है कि $\frac{f(x) - f(0)}{x

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$f(x) \le 1$

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(A) $Lagrange$ के $Mean$ $Value$ $Theorem$ $(LMVT)$ के अनुसार,किसी भी $x \in (0, 2]$ के लिए,एक $c \in (0, x)$ ऐसा विद्यमान है कि $\frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = f'(c)$ हो।दिया गया है कि $f(0) = 0$ और $f'(c) \le \frac{1}{2}$,इसलिए $\frac{f(x)}{x} \le \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।इसका अर्थ है कि $f(x) \le \frac{x}{2}$।चूंकि $x \in [0, 2]$,$\frac{x}{2}$ का अधिकतम मान $\frac{2}{2} = 1$ है।अतः,सभी $x \in [0, 2]$ के लिए $f(x) \le 1$ होगा।

मान लीजिए $f(x)$,$[0, 2]$ में एक अवकलनीय फलन है,$f(0) = 0$ और $f'(x) \le \frac{1}{2}$ सभी $x \in [0, 2]$ के लिए। तो:

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फलन $f(x) = x(x+3)(x-2)$ के लिए अंतराल $[-1, 4]$ में लैग्रेंज माध्य मान प्रमेय $(LMVT)$ लागू होने के लिए $c$ का मान ज्ञात कीजिए:

फलन $f(x) = x(x + 3)e^{-\frac{1}{2}x}$, $[-3, 0]$ में रोले के प्रमेय की सभी शर्तों को संतुष्ट करता है। $c$ का मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए $f'(c) = 0$ है।

यदि फलन $f(x) = ax^3 - bx^2 - 8x - 4$ अंतराल $[1, 3]$ में रोले (Rolle's) प्रमेय को संतुष्ट करता है, और $f'(2) = 0$ है, तो $a - b$ का मान है:

मान लीजिए $f(x) = (x-4)(x-5)(x-6)(x-7)$,तो -

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