मान लीजिए 'C' उन वृत्तों के केंद्र का बिंदु प | vedclass

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Question

(B) दो रेखाओं को स्पर्श करने वाले वृत्तों के केंद्र का बिंदु पथ दी गई रेखाओं के कोण समद्विभाजकों का युग्म होता है।दी गई रेखाएँ $L_1: x + 2y - 5 = 0$ औ

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$59$

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(B) दो रेखाओं को स्पर्श करने वाले वृत्तों के केंद्र का बिंदु पथ दी गई रेखाओं के कोण समद्विभाजकों का युग्म होता है।दी गई रेखाएँ $L_1: x + 2y - 5 = 0$ और $L_2: 2x - 4y + 7 = 0$ हैं।कोण समद्विभाजक $\frac{x + 2y - 5}{\sqrt{1^2 + 2^2}} = \pm \frac{2x - 4y + 7}{\sqrt{2^2 + (-4)^2}}$ द्वारा प्राप्त होते हैं।$\frac{x + 2y - 5}{\sqrt{5}} = \pm \frac{2x - 4y + 7}{2\sqrt{5}}$.$2(x + 2y - 5) = \pm (2x - 4y + 7)$.स्थिति $1$: $2x + 4y - 10 = 2x - 4y + 7 \Rightarrow 8y = 17 \Rightarrow y = \frac{17}{8}$.स्थिति $2$: $2x + 4y - 10 = -2x + 4y - 7 \Rightarrow 4x = 3 \Rightarrow x = \frac{3}{4}$.बिंदु पथ $'C'$ में रेखाएँ $x = \frac{3}{4}$ और $y = \frac{17}{8}$ शामिल हैं।ये रेखाएँ $(\frac{3}{4}, \frac{17}{8})$ पर प्रतिच्छेद करती हैं।हमें इन दो रेखाओं और रेखा $x - y - 5 = 0$ द्वारा घिरा हुआ क्षेत्रफल ज्ञात करना है।प्रतिच्छेदन बिंदु इस प्रकार हैं:$1$) $x = \frac{3}{4}$ और $x - y - 5 = 0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु: $\frac{3}{4} - y - 5 = 0 \Rightarrow y = \frac{3}{4} - 5 = -\frac{17}{4}$. बिंदु $A = (\frac{3}{4}, -\frac{17}{4})$.$2$) $y = \frac{17}{8}$ और $x - y - 5 = 0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु: $x - \frac{17}{8} - 5 = 0 \Rightarrow x = \frac{17}{8} + 5 = \frac{57}{8}$. बिंदु $B = (\frac{57}{8}, \frac{17}{8})$.$3$) $x = \frac{3}{4}$ और $y = \frac{17}{8}$ का प्रतिच्छेदन बिंदु: बिंदु $V = (\frac{3}{4}, \frac{17}{8})$.इन शीर्षों द्वारा निर्मित समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} 	imes |x_B - x_V| 	imes |y_V - y_A|$ है।$|x_B - x_V| = |\frac{57}{8} - \frac{6}{8}| = \frac{51}{8}$.$|y_V - y_A| = |\frac{17}{8} - (-\frac{34}{8})| = \frac{51}{8}$.क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} 	imes \frac{51}{8} 	imes \frac{51}{8} = \frac{51^2}{2 	imes 8^2}$.$\frac{P^2}{2Q^2}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $P = 51$ और $Q = 8$ प्राप्त होता है।चूँकि $P$ और $Q$ सापेक्ष अभाज्य हैं,$P + Q = 51 + 8 = 59$.

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