मान लीजिए कि vec{a} और vec{b} दो इकाई सदिश इस | vedclass

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Question

(A) दिया गया है कि $|\vec{a}| = 1$,$|\vec{b}| = 1$ और $|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{3}$ है।दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + 2(

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$\sqrt{55}$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया है कि $|\vec{a}| = 1$,$|\vec{b}| = 1$ और $|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{3}$ है।दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 3$ प्राप्त होता है।$1 + 1 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 3 \implies 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 1 \implies \vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{1}{2}$.चूंकि $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}| \cos 	heta = \frac{1}{2}$,इसलिए $\cos 	heta = \frac{1}{2}$,जिसका अर्थ है $	heta = 60^{\circ}$।अतः,$|\vec{a} 	imes \vec{b}| = |\vec{a}||\vec{b}| \sin 60^{\circ} = 1 	imes 1 	imes \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$।अब,$\vec{c} = \vec{a} + 2\vec{b} + 3(\vec{a} 	imes \vec{b})$ है।चूंकि $(\vec{a} 	imes \vec{b})$,$\vec{a}$ और $\vec{b}$ दोनों के लंबवत है,इसलिए $|\vec{c}|^2 = |\vec{a} + 2\vec{b}|^2 + |3(\vec{a} 	imes \vec{b})|^2$ होगा।$|\vec{a} + 2\vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + 4|\vec{b}|^2 + 4(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 1 + 4(1) + 4(\frac{1}{2}) = 1 + 4 + 2 = 7$।$|3(\vec{a} 	imes \vec{b})|^2 = 9 |\vec{a} 	imes \vec{b}|^2 = 9 	imes (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = 9 	imes \frac{3}{4} = \frac{27}{4}$।$|\vec{c}|^2 = 7 + \frac{27}{4} = \frac{28 + 27}{4} = \frac{55}{4}$।इसलिए,$|\vec{c}| = \frac{\sqrt{55}}{2}$,जिसका अर्थ है कि $2|\vec{c}| = \sqrt{55}$।

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यदि $\vec{a}+l \vec{b}+l^2 \vec{c}=0$ और $\vec{a} \times \vec{b}+\vec{b} \times \vec{c}+\vec{c} \times \vec{a}=3(\vec{b} \times \vec{c})$ है, तो ऐसे $l$ का न्यूनतम मान क्या है?

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