ધારો કે $A$ એ રેખા $\vec{r} = (1 - 3\mu)\hat{i} + (\mu - 1)\hat{j} + (2 + 5\mu)\hat{k}$ પરનું એક બિંદુ છે અને $B(3, 2, 6)$ અવકાશમાં એક બિંદુ છે. તો $\mu$ ની કઈ કિંમત માટે સદિશ $\overrightarrow{AB}$ એ સમતલ $x - 4y + 3z = 1$ ને સમાંતર થાય?

ધારો કે $P(3, 2, 6)$ એ અવકાશમાં આવેલું બિંદુ છે અને $Q$ એ રેખા $\vec{r} = (\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}) + \mu(-3\hat{i} + \hat{j} + 5\hat{k})$ પરનું બિંદુ છે. તો $\mu$ ના કયા મૂલ્ય માટે સદિશ $\vec{PQ}$ એ સમતલ $x - 4y + 3z = 1$ ને સમાંતર હોય?

જો બિંદુ $(1, 1, 2)$ માંથી પસાર થતા અને સમતલો $x - 3y + 2z - 1 = 0$ અને $4x - y + z = 0$ ની છેદરેખાને લંબ સમતલનું સમીકરણ $Ax + By + Cz = 1$ હોય,તો $140(C - B + A)$ ની કિંમત $.........$ થાય.

ધારો કે રેખાઓ $L_{1}: \overrightarrow{r} = \lambda(\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}), \lambda \in R$ અને $L_{2}: \overrightarrow{r} = (\hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k}) + \mu(\hat{i} + \hat{j} + 5\hat{k}), \mu \in R$ બિંદુ $S$ પર છેદે છે. જો સમતલ $ax + by - z + d = 0$ એ $S$ માંથી પસાર થાય અને બંને રેખાઓ $L_{1}$ અને $L_{2}$ ને સમાંતર હોય,તો $a + b + d$ ની કિંમત કેટલી થાય?

ધારો કે બિંદુ $\left(\frac{5}{3}, \frac{5}{3}, \frac{8}{3}\right)$ નું સમતલ $x-2y+z-2=0$ માં પ્રતિબિંબ $P$ છે. જો બિંદુ $Q(6, -2, \alpha)$,જ્યાં $\alpha > 0$,નું $P$ થી અંતર $13$ હોય,તો $\alpha$ ની કિંમત $...........$ છે.

એક સમતલ $\pi_1$ એ સદિશો $\bar{i}+\bar{j}$ અને $\bar{i}+2\bar{j}$ ને સમાવે છે. બીજું સમતલ $\pi_2$ એ સદિશો $2\bar{i}-\bar{j}$ અને $3\bar{i}+2\bar{k}$ ને સમાવે છે. $\bar{a}$ એ $\pi_1$ અને $\pi_2$ ની છેદરેખાને સમાંતર સદિશ છે. જો $\bar{a}$ અને $\bar{i}-2\bar{j}+2\bar{k}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ લઘુકોણ હોય, તો $\theta=$