माना $P$ परवलय $y^2 = 12x$ और अतिपरवलय $8x^2 - y^2 = 8$ की उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु है। यदि $S$ और $S'$ अतिपरवलय की नाभियाँ हैं जहाँ $S$ धनात्मक $x$-अक्ष पर स्थित है,तो $P$,$SS'$ को किस अनुपात में विभाजित करता है?

परवलय $(x - 1)^2 = 4(y - 2)$ और दीर्घवृत्त $\frac{(x - 1)^2}{1} + \frac{(y - 2)^2}{2} = 1$ की उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाओं की प्रवणताएँ $m_1$ और $m_2$ हैं। तब $m_1^2 + m_2^2$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $A, B, C$ और $D$ वक्रों $\frac{x^2}{18}+\frac{y^2}{8}=1$ और $x^2-y^2=5$ के क्रमशः $I, II, III$ और $IV$ चतुर्थांशों में चार प्रतिच्छेदन बिंदु हैं। यदि $\theta_1, \theta_2, \theta_3$ और $\theta_4$ क्रमशः $A, B, C$ और $D$ पर वक्रों के बीच के कोण हैं, तो

एक वृत्त का केंद्र एक दीर्घवृत्त के केंद्र के समान है और यह दीर्घवृत्त की नाभियों $F_1$ और $F_2$ से होकर गुजरता है,जिससे दोनों वक्र $4$ बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं। मान लीजिए $P$ उनके प्रतिच्छेदन बिंदुओं में से कोई एक है। यदि दीर्घवृत्त की मुख्य अक्ष की लंबाई $17$ है और त्रिभुज $PF_1F_2$ का क्षेत्रफल $30$ है,तो नाभियों के बीच की दूरी क्या है?

$C$ उस वृत्त का केंद्र है जिसका केंद्र $(0, 1)$ और त्रिज्या इकाई है। $P$ परवलय $y = ax^2$ है। $a$ के उन मानों का समुच्चय जिनके लिए वे मूल बिंदु के अलावा किसी अन्य बिंदु पर मिलते हैं,है

एक दीर्घवृत्त की उत्केंद्रता $\frac{1}{2}$ है और एक नाभि बिंदु $P\left( \frac{1}{2}, 1 \right)$ पर स्थित है। इसकी एक नियता, वृत्त $x^2 + y^2 = 1$ और अतिपरवलय $x^2 - y^2 = 1$ की बिंदु $P$ के निकटतम उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा है। दीर्घवृत्त का मानक रूप में समीकरण ज्ञात कीजिए: