मान लीजिए S समीकरण 3^{x}(3^{x}-1)+2=|3^{x}-1| | vedclass

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Question

(D) मान लीजिए $3^{x} = t$,जहाँ $t > 0$ है।समीकरण $t(t-1) + 2 = |t-1| + |t-2|$ बन जाता है।$t^{2} - t + 2 = |t-1| + |t-2|$.स्थिति-$I$: $0 < t < 1$.$t^{2

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एकल समुच्चय (singleton) है।

Vedclass · Answer

(D) मान लीजिए $3^{x} = t$,जहाँ $t > 0$ है।समीकरण $t(t-1) + 2 = |t-1| + |t-2|$ बन जाता है।$t^{2} - t + 2 = |t-1| + |t-2|$.स्थिति-$I$: $0 $t^{2} - t + 2 = (1 - t) + (2 - t) = 3 - 2t$.$t^{2} + t - 1 = 0$.$t = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 4(1)(-1)}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$.चूँकि $t > 0$,इसलिए $t = \frac{\sqrt{5}-1}{2} \approx 0.618$,जो $0 स्थिति-$II$: $1 \leq t $t^{2} - t + 2 = (t - 1) + (2 - t) = 1$.$t^{2} - t + 1 = 0$.विविक्तकर $D = (-1)^{2} - 4(1)(1) = -3 स्थिति-$III$: $t \geq 2$.$t^{2} - t + 2 = (t - 1) + (t - 2) = 2t - 3$.$t^{2} - 3t + 5 = 0$.विविक्तकर $D = (-3)^{2} - 4(1)(5) = 9 - 20 = -11 इस प्रकार,$t$ का केवल एक ही मान्य मान $t = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$ है।चूँकि $3^{x} = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$,इसलिए $x$ का केवल एक वास्तविक मान प्राप्त होता है,जो $x = \log_{3}\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right)$ है।अतः,$S$ एक एकल समुच्चय है।

मान लीजिए $S$ समीकरण $3^{x}(3^{x}-1)+2=|3^{x}-1|+|3^{x}-2|$ के सभी वास्तविक मूलों का समुच्चय है। तो $S$

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