मान लीजिए $A = N \times N$ और $^*$ पर $A$ में एक द्विआधारी संक्रिया (binary operation) है जो $(a, b) \,^*\, (c, d) = (a + c, b + d)$ द्वारा परिभाषित है। निर्धारित करें कि क्या संक्रिया $^*$ क्रमविनिमेय (commutative) है,साहचर्य (associative) है,और क्या इसमें तत्समक अवयव (identity element) है।

(A) दिया गया है कि $A = N \times N$ और द्विआधारी संक्रिया $^*$ जो $(a, b) \,^*\, (c, d) = (a + c, b + d)$ द्वारा परिभाषित है।
$1$. क्रमविनिमेयता (Commutativity):
किसी भी $(a, b), (c, d) \in A$ के लिए,हमारे पास है:
$(a, b) \,^*\, (c, d) = (a + c, b + d)$
$(c, d) \,^*\, (a, b) = (c + a, d + b) = (a + c, b + d)$
चूंकि $N$ में योग क्रमविनिमेय है,इसलिए $(a, b) \,^*\, (c, d) = (c, d) \,^*\, (a, b)$। अतः,$^*$ क्रमविनिमेय है।
$2$. साहचर्य (Associativity):
किसी भी $(a, b), (c, d), (e, f) \in A$ के लिए,हमारे पास है:
$[(a, b) \,^*\, (c, d)] \,^*\, (e, f) = (a + c, b + d) \,^*\, (e, f) = (a + c + e, b + d + f)$
$(a, b) \,^*\, [(c, d) \,^*\, (e, f)] = (a, b) \,^*\, (c + e, d + f) = (a + c + e, b + d + f)$
चूंकि $N$ में योग साहचर्य है,इसलिए संक्रिया $^*$ साहचर्य है।
$3$. तत्समक अवयव (Identity Element):
मान लीजिए $e = (e_1, e_2) \in A$ तत्समक अवयव है। तब $(a, b) \,^*\, (e_1, e_2) = (a, b)$,जिसका अर्थ है $(a + e_1, b + e_2) = (a, b)$।
इसके लिए $a + e_1 = a$ और $b + e_2 = b$ होना आवश्यक है,इसलिए $e_1 = 0$ और $e_2 = 0$।
चूंकि $0 \notin N$,इसलिए $A$ में कोई तत्समक अवयव नहीं है।