मान लीजिए f:(0,2) rightarrow R को f(x) = log_ | vedclass

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Question

(B) दिया गया सीमा $E = 2 \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{n} f\left(\frac{r}{n}\right)$ है।यह एक रीमान योग है,जिसे निश्चित समाकलन $

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(B) दिया गया सीमा $E = 2 \lim_{n ightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{n} f\left(\frac{r}{n}ight)$ है।यह एक रीमान योग है,जिसे निश्चित समाकलन $E = 2 \int_{0}^{1} f(x) dx$ के रूप में लिखा जा सकता है।$f(x) = \log_{2}\left(1+	an\left(\frac{\pi x}{4}ight)ight) = \frac{\ln(1+	an(\pi x/4))}{\ln 2}$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है:$E = \frac{2}{\ln 2} \int_{0}^{1} \ln\left(1+	an\frac{\pi x}{4}ight) dx \quad \dots(i)$गुणधर्म $\int_{0}^{a} g(x) dx = \int_{0}^{a} g(a-x) dx$ का उपयोग करते हुए,$x$ को $1-x$ से बदलने पर:$E = \frac{2}{\ln 2} \int_{0}^{1} \ln\left(1+	an\left(\frac{\pi}{4}(1-x)ight)ight) dx$$E = \frac{2}{\ln 2} \int_{0}^{1} \ln\left(1+\frac{1-	an(\pi x/4)}{1+	an(\pi x/4)}ight) dx$$E = \frac{2}{\ln 2} \int_{0}^{1} \ln\left(\frac{2}{1+	an(\pi x/4)}ight) dx$$E = \frac{2}{\ln 2} \int_{0}^{1} (\ln 2 - \ln(1+	an(\pi x/4))) dx \quad \dots(ii)$$(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर:$2E = \frac{2}{\ln 2} \int_{0}^{1} \ln 2 dx = \frac{2}{\ln 2} \cdot \ln 2 = 2$अतः,$E = 1$।

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