ધારો કે $A=\{-1, 0, 1, 2\}$ અને $B=\{-4, -2, 0, 2\}$ છે. ધારો કે $f, g: A \rightarrow B$ એ $x \in A$ માટે $f(x)=x^{2}-x$ અને $x \in A$ માટે $g(x)=2\left|x-\frac{1}{2}\right|-1$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત વિધેયો છે. શું $f$ અને $g$ સમાન છે? તમારા જવાબનું સમર્થન કરો.
બે વિધેયો $f$ અને $g$ સમાન કહેવાય જો તમામ $a \in A$ માટે $f(a) = g(a)$ હોય.
$x = -1$ માટે:
$f(-1) = (-1)^{2} - (-1) = 1 + 1 = 2$
$g(-1) = 2\left|-1 - \frac{1}{2}\right| - 1 = 2\left|-\frac{3}{2}\right| - 1 = 2\left(\frac{3}{2}\right) - 1 = 3 - 1 = 2$
તેથી,$f(-1) = g(-1)$.
$x = 0$ માટે:
$f(0) = (0)^{2} - 0 = 0$
$g(0) = 2\left|0 - \frac{1}{2}\right| - 1 = 2\left(\frac{1}{2}\right) - 1 = 1 - 1 = 0$
તેથી,$f(0) = g(0)$.
$x = 1$ માટે:
$f(1) = (1)^{2} - 1 = 0$
$g(1) = 2\left|1 - \frac{1}{2}\right| - 1 = 2\left(\frac{1}{2}\right) - 1 = 1 - 1 = 0$
તેથી,$f(1) = g(1)$.
$x = 2$ માટે:
$f(2) = (2)^{2} - 2 = 4 - 2 = 2$
$g(2) = 2\left|2 - \frac{1}{2}\right| - 1 = 2\left(\frac{3}{2}\right) - 1 = 3 - 1 = 2$
તેથી,$f(2) = g(2)$.
આમ,તમામ $a \in A$ માટે $f(a) = g(a)$ હોવાથી,વિધેયો $f$ અને $g$ સમાન છે.
$x = -1$ માટે:
$f(-1) = (-1)^{2} - (-1) = 1 + 1 = 2$
$g(-1) = 2\left|-1 - \frac{1}{2}\right| - 1 = 2\left|-\frac{3}{2}\right| - 1 = 2\left(\frac{3}{2}\right) - 1 = 3 - 1 = 2$
તેથી,$f(-1) = g(-1)$.
$x = 0$ માટે:
$f(0) = (0)^{2} - 0 = 0$
$g(0) = 2\left|0 - \frac{1}{2}\right| - 1 = 2\left(\frac{1}{2}\right) - 1 = 1 - 1 = 0$
તેથી,$f(0) = g(0)$.
$x = 1$ માટે:
$f(1) = (1)^{2} - 1 = 0$
$g(1) = 2\left|1 - \frac{1}{2}\right| - 1 = 2\left(\frac{1}{2}\right) - 1 = 1 - 1 = 0$
તેથી,$f(1) = g(1)$.
$x = 2$ માટે:
$f(2) = (2)^{2} - 2 = 4 - 2 = 2$
$g(2) = 2\left|2 - \frac{1}{2}\right| - 1 = 2\left(\frac{3}{2}\right) - 1 = 3 - 1 = 2$
તેથી,$f(2) = g(2)$.
આમ,તમામ $a \in A$ માટે $f(a) = g(a)$ હોવાથી,વિધેયો $f$ અને $g$ સમાન છે.
Explore More
Similar Questions
એક વિધેય $f(x) = \frac{5^{x}}{5^{x} + \sqrt{5}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,તો શ્રેણી $f\left(\frac{1}{20}\right) + f\left(\frac{2}{20}\right) + f\left(\frac{3}{20}\right) + \ldots + f\left(\frac{39}{20}\right)$ નો સરવાળો ....... છે.
વિધેય $f(x) = \sec \left[ \log \left( x + \sqrt{1 + x^2} \right) \right]$ એ . . . . . . વિધેય છે.
ધારો કે $R$ એ તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો ગણ છે અને $R^{+}$ એ તમામ ધન વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો ગણ છે. $R$ ના ઉપગણો $A$ અને $B$ માટે, $f: A \rightarrow B$ ને $f(x) = x^2$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરો, જ્યાં $x \in A$. નીચે આપેલી યાદીઓને જોડો:
| સ્તંભ $I$ | સ્તંભ $II$ |
| :--- | :--- |
| $A$. $f$ એક-એક અને વ્યાપ્ત છે, જો | $1$. $A = R^{+}, B = R$ |
| $B$. $f$ એક-એક છે પણ વ્યાપ્ત નથી, જો | $2$. $A = B = R$ |
| $C$. $f$ વ્યાપ્ત છે પણ એક-એક નથી, જો | $3$. $A = R, B = R^{+}$ |
| $D$. $f$ એક-એક પણ નથી અને વ્યાપ્ત પણ નથી, જો | $4$. $A = B = R^{+}$ |
| સ્તંભ $I$ | સ્તંભ $II$ |
| :--- | :--- |
| $A$. $f$ એક-એક અને વ્યાપ્ત છે, જો | $1$. $A = R^{+}, B = R$ |
| $B$. $f$ એક-એક છે પણ વ્યાપ્ત નથી, જો | $2$. $A = B = R$ |
| $C$. $f$ વ્યાપ્ત છે પણ એક-એક નથી, જો | $3$. $A = R, B = R^{+}$ |
| $D$. $f$ એક-એક પણ નથી અને વ્યાપ્ત પણ નથી, જો | $4$. $A = B = R^{+}$ |
જો $R \subset A \times B$ અને $S \subset B \times C$ બે સંબંધો હોય,તો $(S \circ R)^{-1} = $
Medium
View Solutionધારો કે $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ અને $X$ એ $S$ થી $S$ પરના તમામ સંબંધો $R$ નો ગણ છે જે નીચેની બંને શરતોનું પાલન કરે છે:
$i$. $R$ માં બરાબર $6$ ઘટકો છે.
$ii$. દરેક $(a, b) \in R$ માટે,$|a-b| \geq 2$ છે.
ધારો કે $Y = \{R \in X : R \text{ નો વિસ્તાર બરાબર એક ઘટક ધરાવે છે}\}$ અને $Z = \{R \in X : R \text{ એ } S \text{ થી } S \text{ પરનું વિધેય છે}\}$.
ધારો કે $n(A)$ એ ગણ $A$ માં રહેલા ઘટકોની સંખ્યા દર્શાવે છે.
$(1)$ જો $n(X) = {}^{m}C_{6}$ હોય,તો $m$ ની કિંમત . . . . છે.
$(2)$ જો $n(Y) + n(Z)$ ની કિંમત $k^{2}$ હોય,તો $|k|$ ની કિંમત . . . . છે.
$i$. $R$ માં બરાબર $6$ ઘટકો છે.
$ii$. દરેક $(a, b) \in R$ માટે,$|a-b| \geq 2$ છે.
ધારો કે $Y = \{R \in X : R \text{ નો વિસ્તાર બરાબર એક ઘટક ધરાવે છે}\}$ અને $Z = \{R \in X : R \text{ એ } S \text{ થી } S \text{ પરનું વિધેય છે}\}$.
ધારો કે $n(A)$ એ ગણ $A$ માં રહેલા ઘટકોની સંખ્યા દર્શાવે છે.
$(1)$ જો $n(X) = {}^{m}C_{6}$ હોય,તો $m$ ની કિંમત . . . . છે.
$(2)$ જો $n(Y) + n(Z)$ ની કિંમત $k^{2}$ હોય,તો $|k|$ ની કિંમત . . . . છે.
Vedclass Products
For Students
Vedclass Test Series
Mock tests in real JEE/NEET style with performance analysis. 5-day free trial.
Start Free TrialFor Teachers
Exam Paper Generator
Generate Set A/B/C/D exam papers from 7.5L+ questions in 2 minutes. 3 chapters free.
Try FreeFor Institutes
Online Exam Module
Live online exams with unlimited students, 360° analytics & white-label branding.
See Demo