मान लीजिए {x} और [x] एक वास्तविक संख्या x के | vedclass

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Question

(C) सबसे पहले,हम समाकलनों का मूल्यांकन करते हैं:$\int_{0}^{n}\{x\} dx = n \int_{0}^{1} x dx = n \left[ \frac{x^{2}}{2} \right]_{0}^{1} = \frac{n}{2}$.

Vedclass · Accepted Answer

$21$

Vedclass · Answer

(C) सबसे पहले,हम समाकलनों का मूल्यांकन करते हैं:$\int_{0}^{n}\{x\} dx = n \int_{0}^{1} x dx = n \left[ \frac{x^{2}}{2} \right]_{0}^{1} = \frac{n}{2}$.इसके बाद,$\int_{0}^{n}[x] dx = \int_{0}^{n} (x - \{x\}) dx = \int_{0}^{n} x dx - \int_{0}^{n} \{x\} dx = \frac{n^{2}}{2} - \frac{n}{2} = \frac{n(n-1)}{2}$.यह दिया गया है कि $\frac{n}{2}$,$\frac{n(n-1)}{2}$,और $10n(n-1)$ एक $G.P.$ में हैं,इसलिए मध्य पद का वर्ग चरम पदों के गुणनफल के बराबर होता है:$\left( \frac{n(n-1)}{2} \right)^{2} = \left( \frac{n}{2} \right) \cdot 10n(n-1)$.$\frac{n^{2}(n-1)^{2}}{4} = 5n^{2}(n-1)$.चूंकि $n > 1$,हम दोनों पक्षों को $\frac{n^{2}(n-1)}{4}$ से विभाजित कर सकते हैं:$n-1 = 5 \cdot 4 = 20$.अतः,$n = 21$.

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मान लीजिए $u = \int_0^1 \frac{\ln(x + 1)}{x^2 + 1} \, dx$ और $v = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \ln(\sin 2x) \, dx$ है,तो:

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