निम्नलिखित में से कौन सी असमिकाएँ $TRUE$ (सत्य) हैं?
$(A)$ $\int_0^1 x \cos x \, dx \geq \frac{3}{8}$
$(B)$ $\int_0^1 x \sin x \, dx \geq \frac{3}{10}$
$(C)$ $\int_0^1 x^2 \cos x \, dx \geq \frac{1}{2}$
$(D)$ $\int_0^1 x^2 \sin x \, dx \geq \frac{2}{9}$

यह दिया गया है कि प्रत्येक $a \in (0,1)$ के लिए,सीमा $g(a) = \lim_{n \rightarrow 0^{+}} \int_n^{1-n} t^{-a}(1-t)^{a-1} dt$ का अस्तित्व है। इसके अतिरिक्त,यह दिया गया है कि फलन $g(a)$ अंतराल $(0,1)$ पर अवकलनीय है।
$1.$ $g\left(\frac{1}{2}\right)$ का मान है
$(A) \pi$ $(B) 2\pi$ $(C) \frac{\pi}{2}$ $(D) \frac{\pi}{4}$
$2.$ $g'\left(\frac{1}{2}\right)$ का मान है
$(A) \frac{\pi}{2}$ $(B) \pi$ $(C) -\frac{\pi}{2}$ $(D) 0$
$1$ और $2$ के लिए सही युग्म चुनें।

मान लीजिए $f(x)$ एक ऐसा फलन है जो $f'(x) = f(x)$ और $f(0) = 1$ को संतुष्ट करता है और $g(x)$ एक ऐसा फलन है जो $f(x) + g(x) = x^2$ को संतुष्ट करता है। समाकलन $\int_{0}^{1} f(x)g(x) \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $I_n = \int_{0}^{1} \frac{dx}{(1 + x^2)^n}$; $n \in N$,तो निम्नलिखित में से कौन सा कथन सही है?

यदि $f(x)$ संबंध $f(x) = e^{x} + \int_{0}^{1} (y + xe^{x}) f(y) dy$ को संतुष्ट करता है, तो $e + f(0)$ का मान . . . . . . है।

$\alpha$ के वे मान जो $\int_{\pi /2}^{\alpha} \sin x \, dx = \sin 2\alpha$ को संतुष्ट करते हैं,जहाँ $\alpha \in [0, 2\pi]$,वे हैं: