मान लीजिए कि alpha और beta समीकरण px^2 + qx + | vedclass

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Question

(D) दिया गया है कि $\alpha$ और $\beta$ समीकरण $px^2 + qx + r = 0$ के मूल हैं,इसलिए $\alpha + \beta = -\frac{q}{p}$ और $\alpha\beta = \frac{r}{p}$ है।च

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$\frac{2\sqrt{13}}{9}$

Vedclass · Answer

(D) दिया गया है कि $\alpha$ और $\beta$ समीकरण $px^2 + qx + r = 0$ के मूल हैं,इसलिए $\alpha + \beta = -\frac{q}{p}$ और $\alpha\beta = \frac{r}{p}$ है।चूंकि $p, q, r$ समांतर श्रेणी में हैं,इसलिए $2q = p + r$ है।दिया गया है कि $\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = 4$,जिसका अर्थ है $\frac{\alpha + \beta}{\alpha\beta} = 4$,अतः $\alpha + \beta = 4\alpha\beta$ है।मूलों के योग और गुणनफल के मान रखने पर: $-\frac{q}{p} = 4(\frac{r}{p}) \Rightarrow q = -4r$ प्राप्त होता है।$q = -4r$ को समांतर श्रेणी की शर्त $2q = p + r$ में रखने पर: $2(-4r) = p + r \Rightarrow -8r = p + r \Rightarrow p = -9r$ प्राप्त होता है।अब,$\alpha + \beta = -\frac{q}{p} = -\frac{-4r}{-9r} = -\frac{4}{9}$ और $\alpha\beta = \frac{r}{p} = \frac{r}{-9r} = -\frac{1}{9}$ है।सर्वसमिका $(\alpha - \beta)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta$ का उपयोग करने पर:$(\alpha - \beta)^2 = (-\frac{4}{9})^2 - 4(-\frac{1}{9}) = \frac{16}{81} + \frac{4}{9} = \frac{16 + 36}{81} = \frac{52}{81}$ प्राप्त होता है।अतः,$|\alpha - \beta| = \sqrt{\frac{52}{81}} = \frac{\sqrt{4 	imes 13}}{9} = \frac{2\sqrt{13}}{9}$।

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